Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 181
Approximation de l’intégrale
Approximation de l’intégrale
−0.4 −0.2 0.0 0.2
−0.4 −0.2 0.0 0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Evolution du temps
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Evolution du temps
Figure 125: Options asiatiques, approximation de l’intégrale par des sommes de Riemann
et des trapèzes.
Comme nous l’avions noté, il est possible d’utiliser des méthodes de réduction de
variance pour accélérer la convergence. En particulier si le taux court r et la volatilité σ 2
ne sont pas trop élevés le prix varie eu sur la période considérée et donc
1
T
∫ T
0
( 1
S u du ∼ exp
T
∫ T
On peut alors prendre comme variable de contrôle
( 1
e
(exp
−r∗T T
∫ T
∫ T
0
0
)
log(S u )du .
) )
log(S u )du − K ,
+
variable qui est interessante car 1 log(S u )du est gaussienne (son espérance est calculable
analytiquement par la formule de Black & Scholes (1973)).
T 0
Une autre approche consiste à changer la manière de discrétiser le processus. En
prenant un pas de temps ∆t = T/m constant, et en notant t k = k∆t, on approche
l’intégrale par des sommes de Riemann,
Y T = 1 T
∫ T
0
S u du ∼ ∆t
T
m−1
∑
k=0
S tk .
Aussi, en faisant n simulations, le prix d’un call asiatique s’écrit
(
)
exp(−rT )
n∑
m−1
∆t ∑
S tk − K .
n T
i=1
k=0
+
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance