Méthodes numériques en finance

4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION DES PARAMÈTRES 31
Volatilité du log−rendement de l’indice SP500
0.005 0.015
1990 1995 2000 2005
Date
Indice VIX − Volatilité implicite des options sur SP500
10 20 30 40
1990 1995 2000 2005
Date
Figure 16: Volatilité empirique versus volatilité implicite.
Le prix X t = X(S t , t) d’un actif contingent - vu comme une fonction de S t - satisfait
l’équation aux dérivées partielles
∂X
∂t + σ2 (S, t) ∂ 2 X ∂X
+ rS
2 ∂S2 ∂S
− rX = 0.
Notons que ce prix - vu comme procesus - peut aussi s’écrire comme solution de l’équation
dX t
X t
= rdt + σ X (S, t)d ˜W t ,
sous la probabilité risque neutre Q, où ( ˜W t ) est un mouvement brownien standard.
On cherche ici à calculer le prix d’un call, ou plutôt le prix de tous les calls de maturités
T et de prix d’exercice K différents, C(T, K). On cherche alors la fonction de volatilité
σ(S, t) telle que pour tout T et tout K,
C(T, K) = exp(−rT )E Q ((S T − K) + ).
On note ici φ(T, x) = Q(S T ∈ [x, x + dx])
, la fonction de répartition de la variable
dx
aléatoire S T (sous Q). Le prix du call s’écrit alors
C(T, K) = exp(−rT )
∫ +∞
En dérivant deux fois par rapport à K, on obtient
φ(T, x) = exp(−rT ) ∂2 C
(T, x).
∂K2 K
(x − K)φ(T, x)dx. (1)
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance