Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 170
Une écriture plus astucieuse consiste à noter que
θ = E(g ∗ (X)) où g(z) = e −z/α et X ∼ B(α, 1),
c’est à dire une loi Bêta, i.e. f ∗ (x) = alphaz α−1 sur [0, 1]. Notons qu’alors
V ar(g ∗ (X)) = 1 α
∫ 1
0
z α−1 e −2z dz − θ 2 .
La Figure ci-après montre le gain (théorique) de cette transformation, avec après, quelques
résultats de simulations, pour des valeurs différentes de α.
Remarque 93. On ne cherche ici qu’à améliorer la vitesse de convergence, sans tenir
compte du temps CPU pour tirer des lois. Ici le second algorithme est plus rapide, mais
tirer une loi Beta au lieu d’une loi uniforme est aussi plus coûteux en tems CPU.
L’outil de base pour les méthodes d’importance sampling dans le cas des options est
le théorème de Girsanov.
Rappelons que dans le cas des processus du modèle de Black & Scholes (1973),
dS t = rS t dt + σS t dW t ,
et seules les dates 0 et T intervenant, il suffit de simuler la valeur du sous-jacent en T .
Intuitivement, il paraîtrait plus efficace de changer le processus, de telle sorte que
l’option soit à la monnaie à la date T (et donc que (S T − K) + soit nul le moins souvent
possible). La solution la plus simple serait alors de changer le strike K. On réécrit
l’équation différentielle stochastique sous la forme
dS t = (r + c)S t dt + σS t
(
dW t − c s t )
= (r + c)S t dt + σS t d ˜W t ,
où
d ˜W t = dW t − c s t.
On notera que ( ˜W t ) t≥0 est un mouvement Brownien, sous une autre mesure, notée Q. On
notera que
E Q (g(S T )) = 1 Z 0
E(Z t · g(S T )), (29)
où g est la fonction de payoff, et Z t la variable aléatoire
(
Z t = exp − 1 c 2
2 σ · t + c )
2 σ W t .
On peut alors réécrire 29 sous la forme
( ) g(ST )
E(g(S T )) = Z 0 · E Q .
Z T
En notant que
S t = S 0 exp
([r + c − 1 ] )
2 σ2 · t + σ ˜W t ,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance