Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 140
11.3 Méthodes de simulation
De manière générale, la simulation de variables aléatoires (quelconques) repose sur la
simulation de variables uniformément distribuées sur [0, 1]. Ce sera en particulier le cas
pour la méthode dite d’inversion. De façon plus générale, on peut noter le résultat suivant,
que l’on peut trouver dans Bouleau (1986).
Lemme 81. Pour tout vecteur aléatoire X de R d , il existe ψ : R n → R d presque sûrement
continue telle que X = loi ψ (U 1 , ..., U n ) où U 1 , ..., U n sont indépendantes et de même loi
Uni(0, 1).
Il est possible que n soit ici infini. De plus, l’hypothèse centrale est que les U i soient
indépendants, puiqu’ils peuvent suivre une autre loi que la loi uniforme.
Exemple 82. Si ψ (u) = − (log u) /λ, alors ψ (U) suit une loi exponentielle de paramètre
λ. Si ψ (u 1 , u 2 ) = √ (−2 log u 1 ) cos (2πu 2 ), alors ψ (U 1 , U 2 ) suit une loi normale centrée
réduite. Si ψ (u 1 , ..., u n ) = ∑ n
i=1 I (U i ≤ p), alors ψ (U 1 , ..., U n ) suit une loi binomiale de
paramètres n et p.
Proposition 83. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires, de loi uniforme sur le
disque unité S = {(x, y) , x 2 + y 2 ≤ 1}. Notons R et Θ les coordonnées polaires associées
à (X, Y ), i.e. X = R cos Θ et Y = R sin Θ. Notons T = √ −4 log R, alors U = T cos Θ et
V = T sin Θ sont indépendantes, et de même loi N or (0, 1) .
Proof. Considérons le changement de variables permettant de passer des coordonnées
cartésiennes aux données polaires,
{ S\ {]0, 1[ × {0}} → ]0, 1[ × ]0, 2π[
φ :
(x, y) ↦→ (r, θ)
et
φ −1 :
{ ]0, 1[ × ]0, 2π[ → S\ {]0, 1[ × {0}}
(r, θ) ↦→ (x, y) = (r cos θ, r sin θ) ,
avec pour jacobien J φ −1 = r. La densité du couple (R, Θ) est alors donnée par
g (r, θ) = 1 π I S (r cos θ, r sin θ) r = r π I S (r cos θ, r sin θ) ,
dont les lois marginales sont respectivement
g (r) = 2rI ]0,1[ (r) et g (θ) = 1
2π I ]0,2π[ (θ) .
On en déduit alors que R et Θ sont indépendantes, R étant de loi triangulaire sur ]0, 1[,
et Θ de loi uniforme sur ]0, 2π[. La loi de T est alors donnée par P[T ≤ t] = 0 pour t ≤ 0,
et sinon,
[√ ]
P[T ≤ t] = P −4 log R ≤ t
[ ( )]
= P R > exp − t2 4
( ))
= 1 − G exp
(− r2
,
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Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance