Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 127
Pour calculer g j+1 , on utilise g j , et à l’étape k + 1, on utilise g k j+1, sous la forme
suivante (inspiré de l’approximation faite dans le cas implicite)
(
I + ∆t ) (
2 A g k j+1 = I − ∆t )
2 A g j + λ∆t ( )
Bg
k
2 j + Bg j .
On a ici un algorithme de recherche de point fixe, qui converge très rapidement. En
particulier, si ɛ k = g j+1 − g k j+1, alors
(
)
‖ɛ k+1 ‖ ∞ ≤ ‖ɛ k λ∆t/2
‖ ∞
1 + (r + λ)∆t /2 .
En particulier, si λ∆t ≪ 1, alors ‖ɛ k+1 ‖ ∞ ∼ ‖ɛ k ‖ ∞ λ∆t/2.
11 Méthodes de simulations dans le modèle de Black
& Scholes (1973)
11.1 Introduction aux méthode de Monte Carlo
Les méthodes de Monte Carlo sont particulièrement intéressante pour calculer des aires,
des volumes, ou plus généralement des intégrales.
• Méthode déterministe de calcul d’aire, de volume ou d’intégrale
On cherche à évaluer un volume V dans R d , à l’aide n points. L’idée est d’entourer
le volume par une boite. Si n = k d pour un entier k, cela signifie qu’on peut considérer
une grille de R d ayant k points de chaque côté. Formellement, si V ∈ [a, b], pour tout
dimension i, on considère une partition homogène de l’intervalle [a i , b i ], i.e. des points
x i,j = a i + (j − 1)(b i − a i )/(k − 1), pour j = 1, ..., k.
Une approximation du volume sera alors
( d∏
)
V (V) ∼ (b i − a i ) × 1 n × ∑
1((x 1,j1 , ..., x d,jk ) ∈ V) = V n (V),
i=1
j 1 ,...,j d ∈{1,...,k}
c’est à dire que l’on compte combien de points appartiennent au volume.
Notons que si L(V) est la longueur du contour du volume, en dimension 2, alors il est
possible de montrer que
|V n (V) − V (V)| ≤ L(V)
k
= L(V)
n 1/d .
Aussi à n fixé, la vitesse de convergence va décroître avec la dimension d, c’est à dire
que l’erreur est en O(1/n 1/d ).
Exemple 76. On cherche ici à approcher le volume de la sphère unité en dimension 2 et
3. La Figure ci dessous montre l’évolution de l’approximation en fonction de n.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance