Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 168
Exemple 91. Un cas d’école est le calcul de P(X > 2) où X suit une loi de Cauchy. On
cherche à calculer
∫ ∞
dx
θ = P[X > 2] =
π (1 + x 2 ) .
(la vraie valeur étant proche de 0.15 - ce qui n’est pas un événement rare). Pour une
approche de Monte Carlo standard, l’estimateur est alors
2
̂θ MC = 1 n
n∑
I[X i > 2]
i=1
où les variables X 1 , ...., X n sont indépendantes de loi de Cauchy. La variance de cet
estimateur de ̂θ MC s’écrit alors θ (1 − θ) /n = 0.1275/n (puisque θ ∼ 0.15).
La distribution étant symétrique (et donc θ = Pr [|X| > 2] /2) on peut considérer
comme estimateur
̂θ t MC = 1
2n
n∑
i=1
[ ]
I |X i | > 2 ,
dont la variance est alors θ (1 − 2θ) /2n = 0.0525/n.
Ces méthodes classiques de Monte Carlo sont ici relativement inefficace puisqu’un
grand nombre de simulation sont sans intérêt pour la simulation (les simulations ne
tombant pas dans le domaine [2, ∞)). Une amélioration peut être obtenue en notant
que θ peut se réécrire
θ = 1 2 − P[0 ≤ X ≤ 2] = 1 ∫ 2
2 − dx
0 π (1 + x 2 )
= 1 2 − E[h (U)] où h (x) = 2
π (1 + x 2 )
avec U ∼ Uni [0,2] . Aussi, un estimateur naturel de θ s’écrit
̂θ IS = 1 2 − 1 n
n∑
h (U i ) ,
i=1
où les variables U 1 , ..., U n sont indépendantes de loi Uni(0, 2). Aussi, la variance de
̂θ IS s’écrit [ E ( ]
h (U) 2) − E (h (U)) 2] /n et une intégration par partie permet d’écrire
V ar
[̂θIS = 0.0092/n. Pour conclure, notons qu’une autre façon de réécrire θ est
où
θ =
∫ 1/2
0
h ′ (y) =
Aussi, considérons comme estimateur
[ ]
y −2
1
π (1 + y −2 ) dy = E 4 h′ (V ) ,
1
2π (1 + y 2 )
̂θ ′ IS = 1
4n
et V ∼ Uni([0, 1/2]).
n∑
h (V i )
i=1
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance