Méthodes numériques en finance

3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 25
Delta d’un call (Black & Scholes)
Delta d’un call (Black & Scholes)
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8
60 80 100 120 140
Cours de l’action
60 80 100 120 140
Cours de l’action
Figure 10: Delta dans le modèle de Black & Scholes (influence de r et σ).
3.12 Le Gamma
Le Gamma étant la sensibilité du Delta d’un call à une petite variation du prix du sousjacent,
on en déduit
Γ = ∂∆
∂S = ∂2 C
∂S = ∂Φ (d 1)
2 ∂S
= φ (d 1)
Sσ √ T > 0.
Aussi, pour un call et un put, le Gamma est identique,
Γ(C) = Γ(P ) = φ (d 1)
Sσ √ T > 0.
= ∂Φ (d 1) ∂d 1
∂d 1 ∂S
Le gamma représente la convexité du prix d’une option en fonction du cours du sousjacent.
En pratique, le Gamma est très important, car la stratégie est traditionnellement de
se positionner en delta-neutre sur un portefeuille, et c’est alors le gamma, et donc les
fluctuations de grande amplitude du cours, qui vont être reponsable de l’évolution d’un
portefeuille.
Un trader qui adopte une couverture dynamique delta-neutre sera donc amené à modifier
sa position sur le sous-jacent de façon très fréquente si le Gamma est élevé.
A l’inverse, si le gamma de l’option est nul, le trader peut conserver une position fixe
tout au long de la durée de vie de l’option.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance