Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 185
Construction du Pont Brownien
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
5
6 3
10 11
1
9
4
7 12
8
2
13 14
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 129: Construction du pont Brownien.
Pour améliorer la précision, on peut utiliser des propriétés de réflexion du mouvement
brownien.
12.12 Calcul de grecques par Monte Carlo
La première approche peut être d’aproche une dérivée par une différence finie.
On calcule ainsi le prix de l’option à partir de la valeur initiale S 0 , puis on calcule
l’option à partir de S 0 + h, et on approxime
∂C(S 0 )
∼ Ĉ(S 0 + h) − Ĉ(S 0)
∂S 0 h
Une seconde idée est d’utiliser la méthode proposée par Broadie & Glasserman
(1996). Soit (S t ) t≥0 le prix de l’actif sous-jacent, et de manière générale, notons f la
fonction de payoff de l’option. Rappelons que le Delta est la sensibilité au prix du sousjacent,
ce qui revient à calculer
∆ = e −rT
∂
∂S 0
E (f(S T )) .
Si on suppose que f est Lipschitzienne et différentiable, on peut dériver sous le signe
somme, i.e.
∆ = e −rT ∂
( ) ( ( ))
∂
E (f(S T )) = e −rT E f(S T ) = e −rT E f ′ ∂ST
. (31)
∂S 0 ∂S 0 ∂S 0
De même si f est deux fois différentiable, on peut calculer le Gamma, qui est la sensibilité
du Delta,
( ( (∂ST ) 2 ( ) ))
Γ = e −rT ∂2
∂
E (f(S
∂S0
2 T )) = e −rT E f ′′ + f ′ 2 S T
. (32)
∂S 0 ∂S0
2
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance