Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 112
On fait alors le changement de temps t = T − 2τ/σ 2 , soit
∂g
∂τ
= (k − 1)
∂g
∂y + ∂2 g
∂y 2 − kg, pour y ≤ log(a/K), τ ∈ [0, (σ2 − 2)/σ 2 )],
en posant k = 2r/σ 2 . On se ramène à l’équation classique en posant f(y, τ) = exp(αy +
βτ)g(y, τ), où
α = 1 − k et β = α 2 + α(k − 1) − k = −(1 + k) 2 /4,
2
soit f solution de ∂f
∂τ = ∂2
, avec comme conditions de bords une condition en temps
∂y2 f(y, 0) = exp(−αy) max{exp(x) − 1, 0} = max{e (k+1)y/2 − e (k−1)y/2 , 0},
(correspondant au temps t = T ), et les conditions en espace
f(y, τ) = exp((k + 1)y/2), quand y → +∞
(ou tout du moins la borne supérieure du support) et f(y, ·) → 0 quand y → −∞.
On met alors en place un algorithme numérique pour résoudre cette équation.
Pour rappel, la solution de ce problème s’écrit
f(τ, y) = 1
2 √ πτ
où g 0 est la condition de bord en temps,
∫ +∞
−∞
f 0 (x)e −(x−y)2 /4τ dx,
f 0 (x) = f(0, x) = max{e (k+1)x/2 − e (k−1)x/2 , 0}.
Comme on sait que S 0 = 50 et K = 50, on sait autour de quelle valeur (en y) il
convient de faire les calculs. En particulier, on peut considérer une grille [−1, 1] en y.
A partir de cette solution numérique, en y et τ, on fait alors les changements de
variable inverse, en notant que
soit
g(x, t) = exp
(−α log x K
g(y, τ) = exp(−αy − βτ)f(y, τ),
)
(T − t)σ2
− β ̂f(log x 2
K
(T − t)σ2
, ).
2
La condition de bord supérieure est un peu délicate à traiter. Aussi, il peut être plus
judicieux de valoriser un put, et d’utiliser les formules de parité pour obtenir le prix du
call.
Remarque 72. En faisant le changement de temps, t = T − 2τ/σ 2 , on s’est ramené de
[0, T ] à [0, σ 2 T/2]: si σ est petit, l’intervalle de temps sera tout petit (avec un cas limite
si σ → 0).
Résolution directe
On peut aussi tenter une résolution directe à partir de l’équation obtenue par Black
& Scholes (1973),
∂g
∂t
∂g
+ rx
∂x + 1 2 σ2 x 2 ∂2 g
= rg, pour x ≥ [0, a], t ∈ [0, T ],
∂x2 Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance