Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 110
(l’algorithme étant récursif) puis de résoudre
(1 + κ)u i,j+1 − κ 2 (u i−1,j+1) + u i+1,j+1 ) = v(x i , t j ).
Sous cette forme, on retrouve l’équation obtenue dans le schéma implicite.
10.12 schéma de De Fort-Frankel
On considère ici le schéma suivant
de telle sorte que
u i,j+1 − u i,j
∆t
− d u i−1,j − (u i,j+1 + u i,j−1 ) + u i+1,j
h 2 = 0,
L h,∆t u(x, t) − Lu(x, t) = −
( ) 2 ∆t ∂ 2 u(x, t)
+ O(h 2 ) + O((∆t) 2 ).
h ∂t 2
Ce schéma est alors consistant si et seulement si ∆t/h → 0 quand h, ∆t → 0. Posons
κ = ∆t/h 2 , alors
(1 + 2dκ)u i,j+1 = 2κ(u i−1,j + u i+1,j ) + (1 − 2κ)u i,j−1 .
L’étude de la stabilité est un peu plus complexe, mais on peut montrer qu’il y a toujours
stabilité.
Les quatre schémas présentés dans cette partie peuvent être représentés par les dessins
de la Figure 53
10.13 Prix d’un call européen par résolution d’e.d.p.
Résolution à partir de l’équation de la chaleur, et changement de variables
Le prix d’une option européen, de payoff h(S T ) à maturité T vaut, à la date t = 0,
g(0, S 0 ) où g est la solution de l’équation aux dérivées partielles
∂g
∂t
∂g
+ rx
∂x + 1 2 σ2 x 2 ∂2 g
= rg, pour x ≥ 0, t ∈ [0, T ],
∂x2 avec la condition finale donnée par g(T, x) = h(x) = max{0, x − K}, dans le cas d’un
call. Pour les calculs, on rajoute la condition limite g(·, 0) = 0. De plus, comme il faut
discrétiser l’espace des prix (x ∈ [0, a], quand x = a, g doit être solution de l’équation
∂g
∂t
+ rx
∂g
∂x
= rg pour x = a.
Aussi, en x = a, on en déduit que ∂g + rx = rg car g(x) = x − K en a. Aussi, après
∂t
intégration, on en déduit que g vérifie la condition de bord g(·, a) = a − K exp(r[· − T ]).
On considère le changement de variable y = log(x/K) (ou x = Ke y ), de telle sorte
que l’équation s’écrive
( )
∂g
∂t + r − σ2 ∂g
2 ∂y + 1 ∂2 g
2 σ2 = rg, pour y ≤ log(a/K), t ≥ 0.
∂y2 Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance