Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 152
est la différence entre le strike (K fixé) et non plus S T mais la valeur maximale atteinte
entre 0 et T .
11.9 Options lookback
Option up and out − pas de temps 1/20
Option up and out − pas de temps 1/200
5.0 5.5 6.0 6.5
5.0 5.5 6.0 6.5
0 2000 4000 6000 8000 10000
Nombre de simulations
0 2000 4000 6000 8000 10000
Nombre de simulations
Figure 94: Pricing d’un call up and out, à barrière, à l’aide de méthodes de Monte Carlo,
pour un pas de T/20 à gauche, et un pas de T/200 à droite.
La Figure souivante permet de visaliser l’impact de la volatilité σ et en fonction de la
maturité T , pour un pas de temps en T/20 en haut, et T/100 en bas. Chaque point est
obtenu avec 25 000 simulations.
11.10 Simulation d’un vecteur aléatoire
Soit X = (X 1 , ..., X d ) un vecteur aléatoire, de fonction de répartition F , i.e. F (x) =
P(X ≤ x). D’après le théorème de Sklar, si les lois marginales de X sont à densité, il
existe une unique copule C telle que
F (x 1 , .., x d ) = C(F 1 (x 1 ), ..., F d (x d ),
où F i est la ième loi marginale, i.e. F i (x i ) = P(X i ≤ x i ).
De ce résultat, on peut noter que
(X 1 , ..., X d ) = L (F1 −1 (U 1 ), ..., F −1 (U d)),
où U = (U 1 , ..., U d ) a pour fonction de répartition C.
Afin de simuler un copule, rappelons que l’algorithme de base pour simuler un vecteur
aléatoire est basé sur la simulation de loi conditionnelle. En dimension 2, soit (X, Y ) un
d
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