MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 174 Prix d’un call (et intervalle de confiance), Monte Carlo et variables de contrôle (prix du sous−jacent) Prix d’un call (et intervalle de confiance), Monte Carlo et variables de contrôle et antithétiques Prix du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 Prix du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 0 5000 10000 15000 20000 25000 nombre de simulations 0 5000 10000 15000 20000 25000 nombre de simulations Figure 117: Monte Carlo avec variable de contrôle (le prix du sous-jacent), et en combinant avec les variables antithétiques. Prix d’un call (et intervalle de confiance), Monte Carlo et importance sampling (−0.2) Prix d’un call (et intervalle de confiance), Monte Carlo et importance sampling (+0.2) Prix du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 Prix du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 0 5000 10000 15000 20000 25000 nombre de simulations 0 5000 10000 15000 20000 25000 nombre de simulations Figure 118: Monte Carlo avec importance sampling (Girsanov), changement du drift de ±0.2. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 175 Ecart−type du prix d’un call, importance sampling, 25 000 simulations Ecart−type du prix du call européen 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Valeur du drift Figure 119: Ecart-type du prix du call en fonction du changement de la valeur de drift, importance sampling Définition 96. Considérons une suite {u 1 , u 2 , . . .} où pour tout i, u i ∈ [0, 1] d . On notera λ n (B) la proportion des n premiers points de la suite appartenant à B, pour tout B ⊂ [0, 1] d , i.e. λ n (B) = 1 n∑ I (u i ∈ B) . n On appelle alors discrépance la suite i=1 D n (u) = sup {|λ n (B)| − λ (B)} , B où λ est la mesure de Lebesgue, et où le sup est pris sur l’ensemble des pavés de [0, 1] d . Cette notion théorique permet en fait de comparer une fonction de répartition empirique à celle définie par rapport à la mesure de Lebesgue. Définition 97. La suite {u 1 , u 2 , . . .} où pour tout i, u i ∈ [0, 1] d est dite équirépartie sur [0, 1] d si pour toute fonction h : [0, 1] d → R Rieman-intégrable 1 n∑ ∫ h (u i ) → h (u) du quand n → ∞. n [0,1] d i=1 Exemple 98. Si {U 1 , U 2 , . . .} est une suite de variables indépendantes de loi Uni(0, 1), alors les suites (U n (ω)) sont presque sûrement équiréparties. De plus, la loi du logarithme itéré permet de montrer que Pr [ lim sup √ 2n log(log(n)) D n(U) = 1 ] = 1. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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1 Méthodes numériques en finance
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4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION
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