Méthodes numériques en finance

3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 15
Si le marché est complet, et satisfait l’absence d’opportunité d’arbitrage, considérons
un portefeuille sur plusieurs actifs S 0 , S 1 , ..., S p . Considérons un produit dérivé européen,
de payoff positif, de maturité T . Par hypothèse, il existe un portefeuille de répliquation,
permettant d’obtenir le prix en t = 0. Aussi, le prix du produit dérivé est une combinaison
linéaire des actifs. Soit Π T ce prix. On suppose le premier actif S 0 sans risque. Alors
( )
S0,T
Π T · est une forme linéaire positive.
S 0,0
De plus, cette fonction vaut 1 en 1 (principe d’actualisation sur le taux sans risque). Par
le theorème de Riesz, il existe une unique probabilité Q (unicité induite par l’hypothèse
de marché complet), équivalente à la probabilité historique P (ayant les mêmes ensembles
de mesure nulle) telle que
( ) ∫
S0,T
Π T Y T = Y T dQ = E Q (Y T ),
S 0,0
pour tout Y T . Donc, pour tout produit européen de maturité T , et de flux terminal X T ,
( )
XT
Π T (X T ) = S 0,0 E Q .
S 0,T
Le prix d’un produit dérivé européen est alors l’espérance sous une probabilité Q - appelée
probabilité risque neutre - du prix du payoff actualisé (facteur S −1
0,T
correspondant au prix
de l’actif sans risque en T ).
Il est alors possible de noter que sous la probabilité Q,
( ∣ )
X t XT ∣∣∣
= E Q F t ,
S 0,t S 0,T
où l’espérance est calculée conditionnellement à l’information connue à la date t, notée
F t . Aussi, le prix actualisé de l’actif (X t ) t∈[0,T ] est une martingale.
3.1 Un peu de terminologie sur les options
Un call est une option d’achat, et un put une option de vente. Le payoff d’une option (ou
valeur intrinséque) est le maximum entre 0 et le flux engendré par un exercice immédiat
de l’option. Pour un call, le payoff est max{0, S − K} = (S − K) + .
La valeur temps d’une option vient du fait qu’il est possible que le prix du sous-jacent
varie encore avant échéance.
Une option est dans la monnaie engendrerait un flux positif si elle était exercée immédiatement.
Un call est dans la monnaie si et seulement si S > K.
Une option est à la monnaie engendrerait un flux nul si elle était exercée immédiatement.
Un call est dans la monnaie si et seulement si S = K.
Une option est en dehors de la monnaie engendrerait un flux négatif si elle était exercée
immédiatement. Un call est dans la monnaie si et seulement si S < K.
Exemple 5. Considérons à une date t l’indice CAC 40 cotant 3195.02 points, et considérons
les options suivantes,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance