Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 192
Simulation de trajectoires du pont brownien
Simulation de trajectoires du pont brownien
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Méthode de Lévy−Ciesielski, k=3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Méthode de Lévy−Ciesielski, k=7
Figure 136: Simulation de trajectoires du pont Brownien, décomposition de Lévy-
Ciesielski (k = 3 et k = 7).
Un premier résultat est qu’il n’est jamais optimal d’exercer un call américain avant
l’échéance, ou plus précisément
Proposition 103. Le prix d’un call américain coincide avec le prix d’un call européen.
Proof. Merton (1973).
Dans toute la suite, l’option de base sera donc le put américain, de payoff à la date t
(K − S t ) + .
14.1 Introduction pour des options bermudiennes
Dans un premier temps, on peut s’intéresser au cas des options bermudiennes qui peuvent
être exercicée à des dates finies, 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ... < t n−1 < t n = T . Ces options
“convergent” vers des options américaies si n → ∞.
14.2 L’enveloppe de Snell du payoff
L’idée de la valorisation est simple: à chaque date t k , le détenteur de l’option a en effet
de choix,
• exercer son option (et en retirer un payoff Z k )
• conserver son option, de telle sorte que son option vaut en t k+1 V k+1 .
Si on note B k,k+1 le facteur d’actualisation entre les dates t k et t k+1 , on en déduit que
la valeur en t k de l’option peut s’écrire
V k = max{Z k , B k,k+1 E Q (V k+1 |F k )},
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance