Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 82
avec comme condition de bord
h(T, z) = M −α (M · max
{1 − S M , 0 })
.
En particulier, si α = 1, on obtient que h(t, z) = max{1 − z, 0}. Quand à la condition de bord
en espace S = 0, elle s’écrit
h(t, 0) = e −r(T −t) .
Enfin, la condition de bord en S = M elle donne, dans le cas où α = 1,
∂h
∂M = h − z ∂h ∂h
= 0, où
∂z ∂z = h.
.... dans le cas d’une option floatting lookkback, (de payoff (M T − S T )), V (t, S, M) =
Mu(t, S/M) où u vérifie l’équation aux dérivées partielles
∂u
∂t + 1 2 σ2 z 2 ∂u ∂u
+ rz − ru = 0, 0 ≤ z ≤ 1,
∂z2 ∂z
avec comme conditions de bords u(T, z) = φ(z), en temps, et en espace ∂u/∂z| z=1 = u(z, 1) pour
tout t > 0.
8.10 Options avec coût de transaction
Considérons le modèle de Leland (1985). Le prix vérifie alors l’équation aux dérivées partielles
∂u
∂t − 1 ( ∣
2 z2 σ 2 ∂2 u ∣∣∣
∂z 2 − ɛ ∂ 2 ∣)
u ∣∣∣
∂z 2 − rz ∂u + rv = 0,
∂z
pour z ∈ [0, z max ], u(t, z max ) = 0 pour tout t, et u(0, z) = (K − z) + pour tout s.
8.11 Option pour un modèle à volatilité stochastique
On suppose ici que la volatilité est stochastique. Plus précisément, l’équation du diffusion du
prix est de la forme { dSt = S t · (µdt + σ t dW 1 t )
dσ t = σ t (p(S, σ, t)dt + q(S, σ, t)) dW 2 t ,
où (Wt 1 ) t≥0 et (Wt 2 ) t≥0 sont deux browniens qui peuvent éventuellement être corrélés (<
dWt 1 |dWt
2 >= ρdt).
L’équation aux dérivées partielle permettant de calculer le prix de tout actif contingent
V (S, s, t) se déduit de la formule d’Ito et de l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage.
On constitue un portefeuille sans risque en achetant l’actif à évaluer et en se couvrant contre
les variations du sous-jacent et de la volatilité, à l’aide d’une quantité −∆ d’actions et −∆ ∗
d’un autre actif contingent V ∗ (S, s, t). On a besoin de deux actifs pour se couvrir, car on est en
présence de deux sources de risque.
On considère alors le portefeuille
En appliquant la formule d’Ito, on a
Π = V (S, s, t) − ∆S − ∆ ∗ V ∗ (S, s, t).
dΠ = dV (S, s, t) − ∆dS − ∆ ∗ dV ∗ (S, s, t)
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance