Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 76
Cette équation est dite parabolique (à coefficients variables). On peut noter que la solution
est invariante par la transformation S → hS pour tout h: g est alors homogène en x, de degré
0. On peut alors essayer le changement de variable y = log x − log K, soit dy = dx/x. Alors
et
∂g
∂y = ∂g ∂x
∂x ∂y = x ∂g
∂x ,
∂ 2 g
∂y 2 = ∂ (
x ∂g )
= ∂g
∂y ∂x ∂y + x2 ∂ 2 g∂x 2 .
En posant s = T − t, l’équation de Black & Scholes (1973) devient
∂g
∂s = 1 ( )
2 σ2 ∂2 g
∂y 2 + r − σ2 ∂g
2 ∂y − rg.
En introduisant la fonction u = g/K, de façon équivalente, l’équation aux dérivées partielles
s’écrit
∂u
∂s = 1 ( )
2 σ2 ∂2 u
∂y 2 + r − σ2 ∂u
− ru, (8)
2 ∂y
où les conditions de bords sont, dans le cas d’un call,
u(y, 0) = max{e x − 1, 0}, u(−∞, s) = 0 et u(x, s) ∼ e x − e−rs quand x → ∞,
pour tout s ∈ [0, T ].
L’équation 8 est alors de la forme (en changeant les notations, i.e. y → x et s → 2t/σ2)
∂u
∂t + a∂u ∂x + bu = ∂2 u
∂x 2 .
La première partie ∂u
∂t + a∂u est appelée partie d’advection (ou d’avection, “advection part”),
∂x
la partie bu est appelée terme source, et enfin, la partie de droite ∂2 u
est le terme de diffusion.
∂x2 Notons que le changement de temps a permis de faire disparaître le facteur du facteur de diffusion.
On note que le terme d’adversion s’écrit
(
∂u
∂
∂t + a∂u ∂x = ∂t + a ∂ )
u
∂x
qui peut être vu comme la dérivée suivant la direction
dx
dt = a,
également appelée courbe caractéristique. Ceci suggère alors le changement de variable z = t+ax,
de telle sorte que l’équation aux dérivées partielles se réécrit
∂u
∂z + bv = ∂2 u
∂x 2 .
Le terme de gauche ∂u + bv laisse à penser que u doit avoir un comportement proche de exp(bz),
∂z
le long de la courbe caractéristique. Aussi, on peut penser faire le changement de variable
v = e bz u, qui vérifie alors l’équation
∂v
∂z = ∂2 v
∂x 2 ,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance