Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 101
u(t i , x j+1 ) = u(t i , x j ) + h ∂u
∂x (t i, x j ) + O(∆t 2 ) + h ∂ 2 u
2 ∂x 2 (t i, x j ) + h3 ∂ 3 u
6 ∂x 3 (t i, x j ) + O(h 4 ),
u(t i , x j−1 ) = u(t i , x j ) − h ∂u
∂x (t i, x j ) + O(∆t 2 ) + h ∂ 2 u
2 ∂x 2 (t i, x j ) − h3 ∂ 3 u
6 ∂x 3 (t i, x j ) + O(h 4 ).
Aussi,
ε i+1,j = O(∆t) + O(h 2 ).
alors
⎧
⎨
⎩
On notant ε l’erreur de troncature du schéma, i.e. ε = max{ε i+1,j }, on a
ε ≤ C · (∆t + h 2 ).
Il est aussi possible d’étudier l’erreur dûe à la discrétisation du schéma,
e i,j = u(t i , x j ) − u i,j pour tout i, j,
e i+1,j = (1 − 2λ) e i,j + λe i,j+1 + λe i,j−1 + ∆te i+1,j pour i = 1, ..., I − 1, j = 0, ..., n − 1
e i+1,0 = e i+1,n = 0
pour i = 0, ..., I
e 0,j = 0
pour j = 0, ..., n
Si l’on impose la condition λ ≤ 1 , on a alors la majoration
2
|e i+1,j | ≤ (1 − 2λ) |e i,j | + λ(|e i,j+1 | + |e i,j−1 |) + C∆t · (∆t + h 2 ) ≤ |e i,·| + C∆t · (∆t + h 2 ),
où |e i,·| = max j {|e i,j |}, et donc, au final,
max{|e i+1,j |} ≤ CT · (∆t + h 2 ),
c’est à dire que l’erreur de discrétisation est du même ordre que l’erreur de troncature.
Proposition 60. Soit u la solution de l’équation de la chaleur, et (u i,j ) la solution du schéma
explicite. On suppose que u est 2 fois continûment dérivable en t et 4 fois en x, et si de plus
alors il existe une constante C, indépendante de ∆t et de h telle que
∆t ≤ h2
2κ , (12)
|u(t i , x j ) − u i,j | ≤ C · (∆t + h 2 ) pour tout i, j.
La condition (12) est appelée condition de stabilité. Aussi, il faut que le pas de temps soit
suffisement petit pour que le schéma converge. Dans le cas où κ = 1, la condition de stabilité
pour le schéma explicite est λ ≤ 1 2 . La Figure 50 montre la suite u i,j pour différentes valeurs de
λ.
Résolution schéma explicite - équation de la Chaleur
• schéma implicite
Un schéma dit implicite (ou rétrograde) peut également être construit,
u i+1,j − u i,j
∆t
− κ u i+1,j+1 − 2u i+1,j + u i+1,j−1
h 2 = f i+1,j .
L’absence d’écriture sous forme récursive oblige à résoudre un système linéaire.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance