Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 106
10.9 Approximation d’une solution et convergence
Définition 69. Un schéma est convergent si
où e i = u(x i ) − u i pour i = 1, ..., I − 1.
max {|e i|} → 0 quand h → 0,
i=1,...,I−1
Proposition 70. Si f est 2 fois continûment dérivable sur [0, 1], alors
{∣ ∣∣∣
max {|e i|} ≤ Ch 2 d 2 }
u(x)
sup
i=1,...,I−1 dx ∣ .
x∈]0,1[
Proof. Il est facile de noter que si f est deux fois continûment dérivable, alors u l’est 4 fois. De
plus,
− e i−1 − 2e i + e i+1
h 2 = ε i,h .
Aussi,
{∣
max {|e i|} ≤ max {|ε i,h|} ≤ h2 ∣∣∣
i=1,...,I−1 i=1,...,I−1 12 sup d 4 }
u(x)
x∈]0,1[ dx ∣ ,
d’après la proposition précédante.
10.10 Quelques aspects numériques et rsolution de systèmes
linéaires
L’inversion de la matrice n × n peut être délicate en pratique, mais en notant que la matrice est
tridiagonale, il est possible d’utiliser des méthodes numériques plus efficace pour déterminer les
vecteurs u i+1 .
• La méthode LU (Lower-Upper)
La méthode LU (Lower-Upper) est une méthode de décomposition d’une matrice M en le
produit LU une matrice triangulaire inférieure L (Lower) et une matrice triangulaire supérieure
U (Upper).
Schématiquement, il s’agit d’une forme particulière d’élimination de Gauss Jordan. On transforme
une matrice en une matrice triangulaire supérieure en éliminant les éléments sous la diagonale.
Les éliminations se font colonne après colonne, en commençant par la gauche, en multipliant
la matrice M par la gauche avec une matrice triangulaire inférieure.
Exemple 71. Considérons le système (très simple)
{ 3x1 + 5x 2 = 9
6x 1 + 7yx 2 = 4
La méthode naturelle de résolution consiste à substituer à la seconde équation la combinaison
linéaire de 2 fois la première équation, moins la seconde, qui donne le système équivalent
{ 3x1 + 5x 2 = 9
− 3x 2 = −14
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance