Méthodes numériques en finance

2 INTRODUCTION AUX “OPTIONS” 11
maximum de deux actifs, et le payoff est alors de la forme (max{S 1 , S 2 )} − K) + ou
(min{S 1 , S 2 )} − K) + , Lindset (2003) ou Stulz (1982).
• les options d’échange est un cas particulier d’options sur panier, ou le sous-jacent est
la différence (le spread) entre les cours de deux d’actifs. On parlera aussi de spread
options, dont le payoff est de la forme (S 1,T − S 2,T − K) + . Parmi les variantes, on
retrouve les extreme spread options, les dual spread options, correlation options,
outperformance options ou autre ratio spread options, Rubinstein (1994), Moro
(1995), Pearson (1995) ou Duan & Pliska (2003).
La plupart de ces options sont dites car seule l’option ne peut s’exercer qu’à échéance
T . Pour les options dites dites , l’option peut être exercée à n’importe quelle date entre
[0, T ]. Des rafinements là aussi existent, avec les options dites , où l’option peut être
exercée à un ensemble prédéterminé de dates 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ ... ≤ t n ≤ T , ou encore elles
peuvent être dites si la date d’exercice est une variable aléatoire τ. On peut alors adapter
les options vues précédament dans un cadre américain. On notera τ ∗ la date d’exercice
de l’option.
• les options russes, qui sont des options américaines perpétuelles (T est infini), qui
garantissent de toucher le maximum observé entre 0 et la date d’exercice. Le payoff
est alors max{S t , t ∈ [0, τ ∗ ]}, Shepp & Shiryaev (1995, 1996, 1998).
• les options israëliennes sont des options américaines donne la possibilité au vendeur
de l’option d’empêcher un exercice prématuré. Kyprianou (2002), Kyprianou
& Baurdoux (2004).
• les options hawaïennes sont des options américaines de type asiatique, ( ∫ basées sur la
1
τ
)
moyenne du processus entre 0 et τ. Le payoff est alors de la forme S t dt − K ,
τ 0
Ameur, Breton & L’Ecuyer (1999), Hansen & Jorgensen (2000), Jorgensen,
Jorgensen & Miltersen (1999).
Enfin, parmi les sous-jacents possibles, on retiendra les options sur actions (étudiées
ici), mais aussi des options sur indices (CAC40), sur taux de change, sur taux d’intérêts,
sur matières premières (cacao, café...), voire sur des options (on parlera alors de compound
option).
Enfin, pour compliquer les choses, notons qu’on peut constituer des portefeuilles
d’options,
• le bull spread ou bear spread, qui consistent à acheter et vendre deux options de
même sous-jacent et de même date d’exercice, mais de strikes différents (K 1 et
K 2 ). Le Bull spread correspond à un achat et une vente d’une option d’achat et le
Bear spread est l’émission d’une option de vente et un achat d’une option de vente.
Dans le cas du bull spread, l’investisseur s’attend à une hausse du cours du titre
sous-jacent,
• le butterfly correspond à l’achat de 2 call (de strikes K 1 et K 2 ) et la vente d’un call
(de strike K = (K 1 +K 2 )/2). Très logiquement, le payoff a une forme se rapprochant
d’autant plus d’un Dirac que les strikes sont proches. Cette stratégie sera choisie
par un investisseur qui anticipe que le cours du sous-jacent restera proche du strike
et ne bougera pas ni dans un sens ni dans un autre,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance