Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 105
Proof. Dans le cas d’un θ-schéma, rappelons que
A = (I − λθK) −1 [I − λ(1 − θ)K],
et on peut vérifier aisément que A ′ = A. Les valeurs propres de A sont les ν k = 1 − 4λ sin 2 kπ
2n .
Si on suppose que θ ∈ [1/2, 1], on obtient que ν k ≥ −1 (la condition ν k ≤ 1 étant elle toujours
vérifiée).
Proposition 66. Dans le cas d’un θ-schéma, si θ ∈ [0, 1/2[ alors le schéma est stable si
∆t ≤
h 2
2κ(1 − 2θ) .
En revanche, le schéma saute mouton est instable.
10.8 Approximation d’une solution et consistance
Définition 67. On appelle erreur de troncature le vecteur ε = (ε 1,h , ..., ε I−1,h ), où
ε i,h = u i+1 − 2u i + u i−1
h 2 + f(x i ) pour i = 1, ..., I − 1.
Le schéma de discrétisation sera dit consistant si
max {|ε i,h|} → 0 quand h → 0.
i=1,...,I−1
Proposition 68. Si u est 4 fois continûment dérivable sur [0, 1], alors
{∣
max {|ε i,h|} ≤ h2 ∣∣∣
i=1,...,I−1 12 sup d 4 }
u(x)
x∈]0,1[ dx ∣ .
Proof. L’idée de la preuve s’obtient en utilisant un développement de Taylor à l’ordre 4,
u(x i+1 ) = u(x i ) + hu ′ (x i ) + h2
2 u′′ (x i ) + h3
6 u′′′ (x i ) + h4
24 u′′′′ (x + ),
u(x i−1 ) = u(x i ) − hu ′ (x i ) + h2
2 u′′ (x i ) − h3
6 u′′′ (x i ) + h4
24 u′′′′ (x − ),
où x − et x + sont deux valeurs appartenant respectivement à ]x i−1 , x i [ et ]x i , x i+1 [. On obtient
en particulier que
c’est à dire que
u(x i−1 ) − 2u(x i ) + u(x i+1 ) = h 2 u ′′ (x i ) + h4 [
u ′′′′ (x − ) + u ′′′′ (x + ) ] ,
24
ε i,h = − h2 [
u ′′′′ (x − ) + u ′′′′ (x + ) ] ,
24
d’où, en utilisant un majorant correspondant au maximum de u ′′′′ (·), le résultat proposé.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance