Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 90
Méthode de Newton−Raphson
−0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
9.3 Recherche d’optimums
Figure 44: Méthode de Newton-Raphson.
9.4 Interpolation de fonctions (par des polynômes)
Etant donnée une fonction f : [a, b] → R. On se donne une partition de [0, 1], i.e. a < x 0 <
x 1 < ... < x n < b. Il existe un unique polynôme P n de degré n tel que f(x i ) = P n (x i ) pour
i = 0, 1, ..., n. Ce polynôme est donné par
⎛
⎞
n∑
P n (x) = ⎝ ∏ (x − x j )
⎠ · f(x i ).
(x
i=0 i − x j )
j≠i
Entre les points x i et x i+1 , f et P n n’ont aucune raison d’être égaux, mais en utilsant le
théorème de Rolle, sous des conditions de régularité suffisantes, on peut montrer que pour tout
x ∈ [x i , x i+1 ] existe ζ ∈ [x i , x i+1 ] tel que
⎛ ⎞
1
n∏
f(x) − P n (x) = ⎝ (x − x j ) ⎠ f (n+1) (ζ).
(n + 1)!
Aussi globablement, on en déduit que
‖f − P n ‖ ∞ ≤
j=0
1
(n + 1)! ‖π‖ ∞‖f (n+1) ‖ ∞ , où π(·) =
Si les points x i sont équidistribués, avec un pas h = (b − a)/n, alors
‖f − P n ‖ ∞ ≤
hn+1
(n + 1)! ‖f (n+1) ‖ ∞ .
n∏
(· − x j ).
j=0
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance