Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 142
Histogramme du prix du sous−jacent
Density
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
8.5 9.0 9.5
50 100 150 200 250
ST
0 2000 4000 6000 8000 10000
nombre de simulations
Figure 82: Calcul du prix d’un call européen en utilisant la propriété de loi log-normale
du prix du sous-jacent, sous la probabilité risque neutre.
Call européen - simulations (simples)
X=rnorm(Nsim)
Ssim=s*exp(T*(r-0.5*sigma 2 ) + sigma ∗ sqrt(T ) ∗ X)
C=exp(-r*T)*pmax(Ssim-K,0)
print.noquote(c(”Prix call - simulations (simples):”, mean(C),
”+/-”, 1.96*sqrt(var(C))/sqrt(Nsim)))
11.4 Simulation d’un processus
Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour simuler un processus (S t ) t∈[0,T ] , à différentes
dates t 0 = 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ ... ≤ t n−1 ≤ t n .
1. si on connaît les lois conditionnelles (e.g. processus Markovien) on simule S t0 , puis
S t1 |S t0 , puis S t2 |S t1 , S t0 , ...etc,
2. si on connaît les lois fini-dimensionnelles (e.g. processus Gaussien), on simule le
vecteur S = (S t0 , S t1 , ..., S tn ),
3. si l’on souhaite simuler à des dates intermédiaires, on utilise des propriétés de pont
brownien, où l’on simule S t0 , puis S tn |S t0 , la date terminale. On peut alors simuler
à une date intermédiaire S t |S t0 , S tn , et plus généralement, sachant S ti et S tk , il est
possible de connaître S tj |S ti , S tk , pour tout i ≤ j ≤ k.
11.5 Simulation d’une diffusion continue
De façon générale, une solution numérique de l’équation
dX t = a(X t )dt + b(X t )dW t pour tout t ∈ [0, T ], (26)
est un processus (X (n)
t ) t∈[0,T ] qui approche suffisement (X t ) t[0,T ] solution de l’équation (26).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance