Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 186
Calcul du Delta par Monte Carlo (différences finies)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Delta2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 200 400 600 800 1000
Nombre de simulations
0 10000 20000 30000 40000 50000
1:nsim
Figure 130: Calcul des grecques par monte carlo, par différences finies, avec à droite deux
valorisations de l’options à l’aide de scénarios différents.
Pour ces deux calculs, une idée naturelle est alors de discrétiser les processus S t ′ =
∂S t /∂S 0 et S t
′′ = ∂ 2 S t /∂S0. 2 Sous des conditions sur le drift et la volatilité (de continuité
et de dérivabilité), alors en utilisant une discrétisation d’Euler,
Ŝ ′ n+1 = Ŝ′ n + ∂µ(Ŝ′ n)
∂S
Ŝ n+1∆t ′ + ∂σ(Ŝ′ n)
Ŝ ′
∂S
n∆W n .
Toutefois, cette méthode bien que naturelle a de vraies limites, en particulier si l’on
sort des hypothèses mentionnées.
12.13 Calcul des grecques dans le cas d’un call digital
Considérons un Brownien géométrique comme dans le modèle de Black & Scholes
(1973), dS t = rS t dt + σS t dW t , pour le prix du sous-jacent, et supposons que l’on cherche
à valoriser une option digitale, de payoff f(S T ) = 1 si S T > K, 0 sinon. Il est clair que
∆ et Gamma sont non nuls, pourtant, les espérances dans les équations 31 et 32 seront
nulles. Le problème vient ici de la discontinuité du payoff. Une idée peut alors être de
régulariser le payoff. Par exemple, on peut s’intéresser à des payoff de la forme
f η (x) = 1 ( ( )) x − K
1 + tanh
2
η
Si on note ψ la loi de S T à la date terminale, on peut alors chercher l’erreur qui est faite
dans le prix d’une option identique pour un payoff lissé,
C η − C =
∫ ∞
0
ψ(s)[f η (s) − f(s)]ds.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance