Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 57
Option sur spread
Option sur spread
Prix du call
16.25 16.30 16.35 16.40 16.45
Prix du call
25.75 25.80 25.85 25.90 25.95 26.00
0 50 100 150
5:150
0 50 100 150
5:150
Figure 30: Prix d’une option sur spread.
Remarque 24. Pour d’autres méthodes de valorisations d’options multisupports par lattices,
un certain nombre d’algorithmes ont été obtenus par Madan, Milne & Shefrin
(1989), He (1990) ou encore Kamrad & Rithken (1991). Ces derniers ont en particulier
proposé d’étendre en dimension 2 les arbres trinomiaux, en rajoutant une cinquième
branche aux 4 de la méthode de Boyle, Evnine & Gibbs (1989) (cas d’invariance).
La Figure 30 montre le prix d’un call sur spread, avec une corrélation de 0.5 à gauche,
et −0.5 à droite.
Remarque 25. La valeur “théorique” présentée est basé sur l’approximation de Kirk
(1995). L’idée est de noter que
{ }
S
C = max{S 1 − S 2 1
− K, 0} = max
S 2 + K − 1, 0 × (S 2 + K),
de telle sorte que
[
])
C = (S0 2 − K)
(e −rT S0
1
S0 2 + K Φ(d 1) − Φ(d 2 ) ,
où
d 1 = 1
σ √ T
(
)
S0
1 log
S0 2 + K + σ2 T
,
2
et d 2 = d 1 − σ √ T , où σ est la volatilité de S 1 /(S 2 + K), qui peut être approchée par
√
( )
σ = σ1 2 S 2 2
0
S0
2 + σ 2 − 2ρσ
S0 2 1 σ 2
+ K
S0 2 + K .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance