Méthodes numériques en finance

7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 73
Nous avions vu dans un paragraphe précédant que
) )
S t = S 0 exp
((µ − σ2
t + σW t ,
2
aussi, si le payoff de l’option s’écrit sous la forme (S T − K) + (call européens),
V t = E Q
(
e
−r(T −t) (S T − K) + |F t
)
,
qui peut s’écrire
(
) ) )
V t = E Q e
(S −r(T −t) t exp(r(T − t)) exp
(σ(W T − W t ) − σ2
2 (T − t) − K |F t .
+
La variable S t étant F t -mesurable, sous Q, W T − W t est alors indépendante de F t . Aussi,
on notera V t = H(t, S t ) où
(
)
H(t, x) = E Q e
(x −r(T −t) − exp(r(T − t)) exp
(σ(W T − W t ) − σ2
2
))+
(T − t) ,
soit
(
H(t, x) = E P
(x exp σ √ T − tZ − σ 2 Z/2 − Ke −r(T −t))) ,
où Z ∼ N (0, 1) car, sous Q, W T − W t suit une loi N (0, T − t).
En posant
log ( ) )
x
K +
(r + σ2
2
(T − t)
d 1 (x) =
σ √ et d 2 (x) = d 1 (x) − σ √ T − tn
T − t
on peut alors écrire
H(t, x) = E P
((x exp
(
σ √ )
T − tZ − σ 2 Z/2 − Ke −r(T −t)) )
I Z+d2 (x)≥0 ,
soit
H(t, x) =
∫ d2 (x)
−∞
( (
x exp σ √ )
T − tZ − σ 2 z/2 − Ke −r(T −t)) )
1
√ exp
(− z2
dz.
2π 2
En décomposant comme différence de deux intégrale, puis en considérant le changement de
variable y = z + σ √ T − t, on écrit
H(t, x) = xΦ(d 1 (x)) − Ke −r(T −t) Φ(d 2 (x)),
où Φ est la fonction de répartition de la loi N (0, 1).
Remarque 35. De manière réciproque, si on connaît le prix d’une option sur le marché, à partir
du prix “théorique” obtenu à l’aide du modèle de Black & Scholes, il est possible d’en déduire
une volatilité dite volatilité implicite afin que les deux coïncident.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance