MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 152 est la différence entre le strike (K fixé) et non plus S T mais la valeur maximale atteinte entre 0 et T . 11.9 Options lookback Option up and out − pas de temps 1/20 Option up and out − pas de temps 1/200 5.0 5.5 6.0 6.5 5.0 5.5 6.0 6.5 0 2000 4000 6000 8000 10000 Nombre de simulations 0 2000 4000 6000 8000 10000 Nombre de simulations Figure 94: Pricing d’un call up and out, à barrière, à l’aide de méthodes de Monte Carlo, pour un pas de T/20 à gauche, et un pas de T/200 à droite. La Figure souivante permet de visaliser l’impact de la volatilité σ et en fonction de la maturité T , pour un pas de temps en T/20 en haut, et T/100 en bas. Chaque point est obtenu avec 25 000 simulations. 11.10 Simulation d’un vecteur aléatoire Soit X = (X 1 , ..., X d ) un vecteur aléatoire, de fonction de répartition F , i.e. F (x) = P(X ≤ x). D’après le théorème de Sklar, si les lois marginales de X sont à densité, il existe une unique copule C telle que F (x 1 , .., x d ) = C(F 1 (x 1 ), ..., F d (x d ), où F i est la ième loi marginale, i.e. F i (x i ) = P(X i ≤ x i ). De ce résultat, on peut noter que (X 1 , ..., X d ) = L (F1 −1 (U 1 ), ..., F −1 (U d)), où U = (U 1 , ..., U d ) a pour fonction de répartition C. Afin de simuler un copule, rappelons que l’algorithme de base pour simuler un vecteur aléatoire est basé sur la simulation de loi conditionnelle. En dimension 2, soit (X, Y ) un d Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
Volatilité Volatilité Volatilité Volatilité 11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 153 Erreur de discrétisation (Euler), avec dt=T/20 Erreur de discrétisation (Millstein), avec dt=T/20 Maturité Maturité Figure 95: Erreur de discrétisation, option fixed strike lookback option avec le schéma d’Euler à gauche, et de Millstein à droite. Erreur de discrétisation (Euler), avec dt=T/100 Erreur de discrétisation (Millstein), avec dt=T/100 Maturité Maturité Figure 96: Erreur de discrétisation, option fixed strike lookback option avec le schéma d’Euler à gauche, et de Millstein à droite. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION
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