Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 172
12.5 Utilisation de variables de contrôle
Si l’on considère un estimateur ˆθ du paramètre θ que l’on cherche à estimer, l’idée est ici
de poser
ˆθ c = ˆθ + κ[Z − E(Z)],
où Z est simulable, et dont on connaît l’espérance. On notera que
et que
E(ˆθ c ) = E(ˆθ),
V ar(ˆθ c ) = V ar(ˆθ) + κ 2 V ar(Z) + 2κCov(ˆθ, Z).
On choisit alors la constante κ de façon à minimiser la variance de cet estimateur contrôlé,
soit
κ ∗ = − cov(ˆθ, Z)
V ar(Z) ,
et donc, par substitution
V ar(ˆθ ∗ c) = V ar(ˆθ) − cov(ˆθ, Z) 2
V ar(Z) .
Encore une fois, pour que Z soit une “vraie” variable de contrôle, il convient d’avoir une
variable non-indépendante de ˆθ.
Exemple 95. Considérons un call asiatique, basé sur le maximum
{
max 0, 1 T
∫ T
0
}
S t dt − K .
Un algorithme classique de Monte Carlo est basé sur la simulation de n trajectoires
(S t ) t∈[0,T ] , discrétisées, puis de poser
C i = max
{
0, 1 m
}
m∑
S iT/m − K , i = 1, ..., n,
i=1
puis de prendre la moyenne. Parmi les variables de contrôle, on pourra retenir
• Z 1 = S T , la valeur terminale de la trajectoire du sous-jacent,
• Z 2 = e −rT max{0, S T − K}, le payoff d’un call européen (actualisé),
• Z 3 = 1 m∑
S iT/m , la valeur moyenne du sous-jacent sur la période [0, T ].
m
i=1
Call européen - simulations (antithétiques avec contrôle)
X=rnorm(Nsim)
Ssim=s*exp(T*(r-0.5*sigma 2 ) + sigma ∗ sqrt(T ) ∗ X)
S.ant=s*exp(T*(r-0.5*sigma 2 ) − sigma ∗ sqrt(T ) ∗ X)
C.ant=0.5*exp(-r*T)*(pmax(Ssim-K,0)+pmax(S.ant-K,0))
Z