Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 43
n 5 10 20 25
arbre recombinant 15 55 210 325
arbre naîf 63 2 047 2 097 151 67 108 863
Table 2: Nombre de noeuds pour les arbres, en fonction du nombre de périodes n.
où a est le nombre minimal de hausse du sous-jacent pour être en dedans à l’échéance,
i.e.
u a d n−a S = K soit a = log (K/Sdn )
.
log (u/d)
On peut alors réécire, en posant ˜π = uπ/d,
C = S
n∑
i=0
( n
˜π
i)
i (1 − ˜π) n−i − K 1 n∑
( ) n
(1 + r) n π i (1 − π) n−i .
i
Notons que π et ˜π sont des probabilités, aussi, en notant B la fonction de répartition
de la loi binomiale,
K
C = SB (a, n, ˜π) −
(1 + r) n B (a, n, π) .
On retrouve ici une version discrète de la formule de Black & Scholes (1973).
Remarque 16. Pour calculer le prix d’un call, la méthode retenue ici est basée sur un
algorithme dit de rétropropagation
6.3 Petite digression: de la marche aléatoire au brownien
Pour obtenir plus formellement le prix Black & Scholes à partir de ce modèle, rappelons
que le mouvement brownien apparait comme limite de la marche aléatoire.
Définition 17. Le processus (W t ) t∈R est un mouvement brownien si (Z t ) t∈R est une “suite”
de variables aléatoires
• à accroissements indépendants, i.e. W t+h − W t et W t − W t−k sont des variables
indépendantes, pour tout t, h > 0 et k ∈]0, t[,
• t ↦→ W t est une fonction continue
• pour tout t, h > 0, W t+h − W t suit une loi normale centrée, de variance h.
On note (Z n ) n∈N la suite de variable aléatoire telle que
⎧
⎪⎨ u avec probabilité 1
Z n+1 − Z n =
2
⎪⎩ d avec probabilité 1 ,
2 ,
et Z 0 = 0. On considère alors (X t ) t∈T où T = {0, ∆t, 2∆t, 3∆t, ...} = {t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , ...}
définie par X tn = Z n . On note p(n, k) la probabilité
i=0
p(n, k) = P(Z n = k∆x|Z 0 = 0).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance