Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 123
Calcul du Delta par équation aux dérivées partielles
Calcul du Gamma par équation aux dérivées partielles
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030
0 20 40 60 80 100
Prix du sous−jacent
0 20 40 60 80 100
Prix du sous−jacent
Figure 66: Calcul du ∆ et du Γ pour un call européen.
Notons que pour les premiers, la moyenne arithmétique 1
( ∫
T
1
T
)
par la moyenne géométrique, exp log S t dt .
T
0
∫ T
0
S t dt peut être remplacée
10.21 Cas particulier, les options sur moyenne
De manière générale pour les options sur moyenne, étant donnée une fonction f : R ×
[0, T ] → R suffisamment régulière, on note
I t =
∫ t
0
f(S u , u)du,
de telle sorte que f(s, t) = s corresponde à la moyenne arithmétique, et f(s, t) = log s à
la moyenne géométrique.
Si le prix de l’option européenne peut s’écrire g(S, I, t), alors g(x, y, t) doit être solution
de l’équation aux dérivées partielles
∂g
∂t + 1 (
2 σ2 x 2 ∂2 g
+ f(x, t)∂g
∂x2 ∂y = r g − x ∂g )
.
∂x
Dans le cas des options strike call sur moyenne arithmétique, le payoff est S T · g(R, T )
où
{
g(R, T ) = max 1 − R }
où R t = 1 ∫ t
S u du,
T
S t
où g vérifie l’équation aux dérivées partielles
∂g
∂t + 1 2 σ2 x 2 ∂2 g ∂g
+ (1 − rx)
∂x2 ∂x = 0,
avec des conditions de bords de la forme g(∞, t) = 0.
0
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance