Méthodes numériques en finance

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10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 103
Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.174
Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.347
Temps
Temps
Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.520
Equation de la chaleur (Crank Nicholson), lambda=0.861
Temps
Temps
Figure 52: Schéma de Crank-Nicolson pour l’équation de la chaleur, diminution du pas
de temps ∆t, et augmentation de λ.
Résolution schéma implicite - équation de la Chaleur
• schéma de Crank-Nicolson
En combinant ces deux approches, on génére un θ-schéma. En particulier, si θ = 1/2, on
obtient le schéma de Crank Nicolson,
u i+1,j − u i,j
∆t
− κ 2
u i+1,j+1 − 2u i+1,j + u i+1,j−1
h 2 − κ u i,j+1 − 2u i,j + u i,j−1
2 h 2 = f i+1,j .
L’absence d’écriture sous forme récursive oblige à résoudre un système linéaire.
Résolution schéma Crank-Nicolson - équation de la Chaleur
• le schéma saute-mouton (leap frog)
Dans ce schéma, on considère la discrétisation suivante de l’équation aux dérivées partielles,
u i+1,j − u i−1,j
2∆t
− κ u i,j+1 − 2u i,j + u i,j−1
h 2 = f i,j .
10.6 La notion de consistance
Rappelons que ε(∆t, h) = max{ε i,j } est appelé erreur de troncature.
Définition 61. Un schéma numérique est dite consistant si l’erreur de troncature tend vers 0
quand ∆t, h → 0. Un schéma numérique est dite précis à l’ordre p en espace, et q en temps s’il
existe une constante C telle que
ε(∆t, h) ≤ C(h p + ∆t q ).
En particulier, pour les schémas présentés dans la section préédante, on a
Proposition 62. Si la solution u est suffisement régulière, alors
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