Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 124
10.22 Cas particulier, les options sur maximum
Dans le cas des options sur maximum (voire minimum), il est possible d’utiliser la méthode
présentée pour les options sur moyenne, en notant que
max {|S u |, u ∈ [0, t]} = lim
n→∞
(∫ t
0
) 1
|S u | n n
du .
En notant que le prix est supposé toujours positif, on peut alors noter I n,t le processus
I n,t =
∫ t
0
S n udu, et J n,t = (I n n, t) 1/n .
Remarque 74. Pour les calculs formels sur les options sur minima ou maxima, quelques
formules de calcul stochastiques sont utiles. Soit (Z t ) t≥0 un mouvement brownien arithmétique,
i.e. Z t = µt + W t où (W t ) t≥0 un mouvement brownien standard. On note M t et
m t respectivement le maximum et le minimum du processus (Z t ) t≥0 sur la période [0, t],
i.e.
M t = sup {µs + W s } et m t = inf {µs + W s}.
s∈[0,t]
s∈[0,t]
Enfin, on note τ h le premier temps d’atteinte du niveau h pour (Z t ) t≥0 . Alors la loi jointe
de (Z t , M t ) admet pour densité
)
2(2y − x) (2y − x)3
f Z,M,t (x, y) = √ exp
(− + µx − µ2 t
. (19)
2πt
2
2t
2
De manière simulaire la loi jointe de (Z t , m t ) admet pour densité
)
2(x − 2y) (2y − x)3
f Z,m,t (x, y) = √ exp
(− − µx − µ2 t
2πt
2
2t
2
(20)
On peut en déduire en particulier la loi du maximum M t ,
√ ( )
(
2
f M,t (x) =
πt exp (x − µt)2
− − 2µ exp(2µx)Φ − x + µt )
√ , (21)
2t
t
où comme toujours Φ désigne la fonction de répartition de la loi N (0, 1). Enfin, la loi du
temps d’arrêt est donnée par
f τ,h (x) = √ |h| (
exp − h − µx )
, (22)
2πx
3 2x
Pour tout complément, on pourra consulter Karatzas & Shreve (1991) ou Borodin
& Salminen (1996).
A FAIRE...
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance