Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 198
14.9 Utilisation des arbres
Une méthode simple pour valoriser un peu américain est d’utiliser ce qui a été obtenu
dans la section ??.
Aussi u(k, ·) est représenté sous la forme d’un vecteur U k . En particulier
U k (i) = u(k, S 0 u i d k−i ) pour i = 0, 1, ..., k,
et on calcule de manière itérative, avec comme valeur à maturité
U n (i) = (S 0 u i d n−i − K) +
et
U k (i) = max{(S 0 u i d k−i − K) + , e −rT/n [p · U k+1 (i + 1) + (1 − p) · U k+1 (i)]}}.
Prix d’un call américain vs. européen
Prix d’un put américain vs. européen
8.7 8.8 8.9 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4
6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0
20 40 60 80 100 120 140
Nombre de pas de temps (arbre)
20 40 60 80 100 120 140
Nombre de pas de temps (arbre)
Figure 138: Call et put européens et américains, méthode par arbre.
Pour évaluer efficacement les options américaines, le maillage doit être fin lorsque l’on
s’approche de l’échéance.
14.10 Représentation de la région d’exercice
En utilisant les arbres, il est possible de représenter la région d’exercice de l’option.
14.11 Arbre de Leisen (1998)
Au lieu d’utiliser comme nous l’avons fait
{ u=exp((r − 0.5 ∗ σ 2 )h + σ √ ∆t)
d=exp((r-0.5*σ 2 )h − σ √ ∆t)
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance