Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 108
On peut alors réécrire Mu i+1 = b i sous la forme L (Uu i+1 ) = b i , qui se sépare alors en
deux problèmes,
Lv i+1 = b i et Uu i+1 = v i ,
où v i est un vecteur intermédiaire.
⎡
⎤ ⎡
1
−κ/y 1 1 (0)
−κ/y 2 1
. .. . ..
⎢
⎣
. ⎥ ⎢
. . 1 ⎦ ⎣
(0) −κ/y n−1 1
et
⎡
⎢
⎣
y 1 −κ (0)
y 2 −κ
.
y 3 ..
. .. . ..
(0) y n−1 −κ
y n
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
v (t i , x 1 )
v (t i , x 2 )
v (t i , x 3 )
.
v (t i , x n−1 )
v (t i , x n )
u i+1,1
u i+1,2
u i+1,3
.
u i+1,n−1
u i+1,n
⎤
⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎤
⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Les vecteurs v i sont obtenus aisément par substitution (forward),
v 1 = b 1 et v k = b k + κv k−1
y k−1
pour k = 2, ..., n − 1.
On obtient alors, par substitution (backward),
v 1
v 2
v 3
.
v n−1
v n
u i+1,1 = v 1
y 1
et u i+1,k = v k + κu i+1,k+1
y k
pour k = 1, ..., n − 2.
b 1
b 2
b 3
.
b n−1
b n
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
Implémentation de la méthode LU
tri.diag.inv< −function(a,b,c,r)
n