Méthodes numériques en finance

5 LES NOTIONS DE TAUX D’INTÉRÊT 39
5.3 Le modèle de Heath, Jarrow & Morton
On modélise ici le prix des zéro-coupons, B T (t) comme un processus stochastique,
(B T (t)) t∈[0,T ] . On retiendra une diffusion de la forme suivante
dB T (t)
B T (t) = µ(t, T )dt + σ(t, T )dW t,
avec comme condition terminale B T (T ) = 1. On va alors supposer qu’il existe une probabilité
risque neutre Q sous laquelle
dB T (t)
B T (t) = r tdt + σ(t, T )d ˜W t ,
où r t est le processus de taux court r t = − 1 T log(B T (t)). Cette classe de modèle est
toutefois trop générale pour être utilisée telle quelle.
5.4 Le modèle de Ho & Lee
On suppose ici que sous Q, le taux court r t suit la diffusion
En intégrant, on obtient que
∫ t
De cette relation, on en déduit que
0
dr t = adt + σd ˜W t .
∫ t
r s ds = r 0 t + a t2 2 + σt (t − s)d ˜W s .
∫ T
0
∫ T
0
0
r s ds suit une loi normale,
r s ds ∼ N
(r 0 T + a T 2
2 , σ2 T 3
6
On peut alors en déduire, en particulier, la valeur de B T (0), obtenue à partir de r 0 , et
donc
B T (0) = exp
(r 0 T − aT )
2
2 − σ2 T 3
.
6
Et en intégrant entre t et T , on obtient le prix en t du zéro-coupon d’échéance T ,
(
B T (t) = exp r 0 (T − t) − a(T )
2 − t 2 )
− σ2 (T 3 − t 3 )
.
2
6
On en déduit enfin la courbe des taux, pour n’importe quelle date t et n’importe quelle
maturité T , en fonction du taux court r t ,
R(t, T ) = r t + a T + t
2
)
.
+ σ2 (T 2 − T t + t 2
.
6
Cette courbe n’est toutefois pas réaliste à long terme, puisque R(t, T ) → ∞ quand
T → ∞. De plus, il peut générer des taux négatifs avec une probabilté non nulle:
Q(r t ≤ 0) = Φ(a √ (t)/σ).
Remarque 13. Nous retrouverons ce modèle dans le cas de la modélisation par arbre
binomiaux.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance