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2.3.2 Modellierung im Spaltbruch- und Übergangsbereich
Ursprüngliches Beremin-Modell
2. Stand der Technik
Die Versagenswahrscheinlichkeit infolge von Spaltbruch kann mit dem Beremin-Modell bestimmt
werden. Dieses Modell, das von der Forschergruppe Beremin [BER83], [MUD87] entwickelt wurde,
gehört zu den lokalen Modellen, bei denen der lokale Spannungszustand für die Vorhersage des
Spaltbruchs berücksichtigt wird. Das Beremin-Modell beruht auf drei Grundannahmen:
-
-
Es wird davon ausgegangen, dass in einem für den Werkstoff und den Spaltbruchmechanismus
repräsentativen Volumenelement V0 durchschnittlich M Mikrorisse gleichmäßig verteilt
vorliegen. Da der Mikrorissbildung Versetzungsbewegungen vorausgehen, sind die Mikrorisse
bei metallischen Werkstoffen nur innerhalb der plastischen Zonen vorzufinden. Die
Wahrscheinlichkeit P(l), dass ein Mikroriss eine Länge zwischen l und l+dl besitzt, wird mit
Parametern αl>0 und βl>1 bestimmt nach
αl
P(
l)
dl = dl
β l l
(2.28)
- Das Griffithsche Kriterium wird vorausgesetzt, nach dem der Spaltbruchversagen an
Mikrorissen eingeleitet wird, wenn die aufgebrachte Last eine kritische Spannung σc ergibt.
Dieser kritische Wert ist direkt proportional zur Quadratwurzel einer werkstoffabhängigen
Konstante C und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Mikrorisslänge l:
C
σ c =
(2.29)
l
- „Weakest-link“ Ansatz, bei dem der lokale Versagensprozess das Versagen der gesamten
Struktur auslöst. Dabei geht das lokale Versagen vom gefährlichsten Mikroriss aus, der das
schwächste Glied in der Struktur darstellt. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass möglicher
Arrest des fortschreitenden Mikrorisses nicht zugelassen wird.
Basierend auf diesen Annahmen wird die akkumulierte Versagenswahrscheinlichkeit Pf bei einer
bestimmten Struktur mit einer zwei-parametrigen Weibullverteilung beschrieben:
Pf
⎡ m
⎛ σ ⎞ ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎜ w
= 1 − exp −
⎟
(2.30)
⎥
⎣ ⎝ σ u ⎠ ⎦
Während mit dem Parameter m die werkstoffabhängige Streuung der kritischen Spannungen erfasst
wird, stellt die Weibullreferenzspannung σu den Werkstoffwiderstand gegen das Spaltbruchauftreten
dar. Bei dieser Spannung nimmt die Versagenswahrscheinlichkeit einen Wert von ca. 63% an. Die
beiden Parameter m und σu werden als „Weibullparameter“ bezeichnet. Die aktuelle Weibullspannung
σw, mit der die Spaltbruchbelastung charakterisiert wird, ergibt sich nach Integration der größten
Hauptnormalspannungen σ1 in dem ganzen plastischen Volumen Vpl als:
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