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5. Modellierung des stabilen Risswachstums
Anfangslänge 2L0 und den Radius R0 für den Zylinder sowie den Radius r0 für den sphärischen
Hohlraum vorgegeben. Als Belastung werden Radial- und Axialverschiebungen aufgebracht.
Σ3 60
Struktur (Makroebene)
2L 0
2r 0
2R 0
Zelle (Mesoebene)
Σ 1
σ 33
σ 11 σ 22
Bild 5.1: Die Modellierungsebenen mit den Abmessungen der Einheitszelle
Matrix (Mikroebene)
Die wahren Hauptspannungen Σ1, Σ2 und Σ3 werden als Quotient aus den gemittelten Auflagerkräften
entlang den Zellenrändern und den aktuellen Angriffsflächen definiert. Die effektive Spannung,
hydrostatische Spannung und die Mehrachsigkeit ergeben sich aus folgenden Gleichungen:
1
Σ
Σ h
e = Σ3
− Σ1
; Σ h = ( Σ3
+ 2Σ1
); h =
3
Σ e
Die zugehörigen Hauptdehnungen und die effektive Dehnung erfolgen aus:
⎛ R ⎞ ⎛ L ⎞ 2
E1 = E2
= ln
⎜ ; E3
ln ; Ee
= E3
− E1
R ⎟ =
⎜
0
L ⎟
(5.2)
⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ 3
Der aktuelle Hohlraumanteil f entspricht dem Verhältnis des gesamten Hohlraumvolumens zum
Zellvolumen V. Aus der Bedingung der plastischen Inkompressibilität folgt für f:
e
V V
f ( f ) 0 ∆
2
= 1− 1−
0 − ; V = 2πR
L
(5.3)
V V
In dieser Gleichung ist f0 der Anfangsvolumenanteil des Hohlraums und ∆V e der Volumenzuwachs der
Zelle infolge der durch die hydrostatische Spannung hervorgerufenen elastischen Ausdehnung:
3
2r0
e
3(
1−
2ν)
0 = ; ∆V
= V0(
1−
f0
)
2
h
(5.4)
3R
L
E
0 0
f Σ
Im Fall, dass das Matrixmaterial sekundäre Hohlräume enthält, wird der gesamte
Hohlraumvolumenanteil ftot aus dem Volumenanteil f1 des modellierten Hohlraums im Zentrum der
Zelle (erste Population) und aus dem Volumenanteil f2 der sekundären Hohlräume (sekundäre
Population) zusammengesetzt. Der Volumenanteil f2 resultiert aus der Summe der einzelnen Anteile,
die durch die Multiplikation des Volumens des Integrationspunktes mit der internen
(5.1)