Chemická termodynamika II

D 8. Zákon o šíření chyb
Máme-Ii náhodnou veličinu a = J(bl, b 2 , ••• , bm) , jež je funkcí dalších ná.hodných
veličin bl, b 2 , ••• ,bm , které jsou zatíženy malými náhodnými chybami řídícími se normálním
rozdělením, p~k lze odhadnout její rozptyl uZ(a) podle následujícího vztahu
2' m m (Oj) (Oj) .
u (a) = ~ ~ ob. ab. Cov(b" Vj),
.=1 )=1 • )
(D8.I)
kde Cov( bi, b j ) jsou odpovídající prvky kovarianční matice veličin bl, b 2 ,' " ,bm' Diagonální
prvky kovariančnímaticejsou rozptyly příslušných veličin Cov(b i , b i ) = uZ(b i ).
Jsou-li chyby ve veličinách bl, bz, ... ,bm statisticky nezávislé, jsou všechny nediagonální
prvky jejich kovarianční matice nulové a vztah (08.1) se tedy zjednoduší
(D8.2)
Příklad:
Určete (i) standardní odchylku součtu
(ii) relativní standardní odchylku součinu
dvou náhodných statisticky nezávislých veličin, pro něž standardní odchylky
znáte.
Řešení: Dle zadání (i) a = bl + bz . Ze vztahu (D8.2)
u 2 (a) =.uZ(bl + bz) = uZ(bd +uZ(bz)
a tedy
u(a) = a(bl + b2) = Ja 2 (bd +a 2 (bz) .
Specielně, když a(bd = u(bz) = a(b) , pak a(b l + bz) = a(b).,fi .
Dle zadání (ii) a = b l .b 2 • Ze vztahu (08.2)
u 2 ( a) = a Z (bl.b 2 ) = b~ a 2 (bl ) + br a Z (b 2 ) •
Vydělíme-li
poslední vztah a 2 ,dostaneme
a 2 (a)/a 2 = u;(a) = (b~/a2)u2(bd + (bUa 2 ) u 2 (b2) = cr;(bt} +a;(bz) ,
takže
ar(a) ::: ar(bl.bz) = Ja;(bd + a;(b2 ).
Specielně, když ar(bl) = ar(b2) = ar(b) , pak ar(bl.bz) = ar(b) J2 .
261