13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

3.3. Factorización de polinomios
Como esperábamos, el resto es cero por lo que
q(x) = (x 3 − x 2 − 8x + 12)(x + 1).
Pero se pide que lo factoricemos por completo, lo que significa que debemos ver
si el factor c(x) = x 3 −x 2 −8x+12 puede a su vez factorizarse. Probando con los
mismos valores que antes, vemos que c(2) = 0, por lo que haremos c(x) ∶ (x−2)
mediante la regla de Ruffini:
1 − 1 − 8 12
2 2 2 − 12
1 1 − 6 0
Entonces x 3 − x 2 − 8x + 12 = (x 2 + x − 6)(x − 2), por lo que
q(x) = (x 3 − x 2 − 8x + 12)(x + 1) = (x 2 + x − 6)(x − 2)(x + 1).
Pero x 2 + x − 6 aún se puede factorizar, pues su valor numérico en 2 es cero,
por lo que aplicamos la regla de Ruffini por tercera vez para realizar el cociente
(x 2 + x − 6) ∶ (x − 2)
1 1 − 6
2 2 6
1 3 0
Luego x 2 + x − 6 = (x + 3)(x − 2) y, en consecuencia,
q(x) = (x + 3)(x − 2)(x − 2)(x + 1) = (x + 3)(x − 2) 2 (x + 1).
∠
Una raíz múltiple de un polinomio es una raíz que ocurre más de una vez.
En el ejemplo anterior el factor (x − 2) aparece dos veces en la factorización
de q, así que r = 2 es una raíz múltiple. Puesto que ocurre dos veces, se llama
una raíz doble. Si ocurriera solamente una vez es llamada raíz simple. Si ocurre
tres veces se denomina raíz triple, y así sucesivamente. La cantidad de veces que
ocurre una raíz se llama orden de multiplicidad, o simplemente multiplicidad
de dicha raíz * .
Una pregunta natural en este punto es ¿cómo nos damos cuenta si el polinomio
está completamente factorizado? Es decir, ¿hasta cuándo seguimos? En
el ejemplo anterior es claro que terminamos ya que llegamos a todos factores de
*En términos matemáticos, se dice que una raíz r de p tiene multiplicidad k si podemos factorizar
p(x) = (x − a) k s(x), siendo s(x) un polinomio tal que s(r) ≠ 0. Es decir, (x − r) k es factor
de p pero (x − r) k+1 no lo es.
83