13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

3.4. Expresiones racionales
la cual no parece “más simple” que la primera. En cambio, puede lograr que la
forma simplificada de
1
2 x + 1 2
1
4 x − 1 4
sea 2 ⋅ x + 1
x − 1 ,
la cual sí puede resultar “más simple”, porque solo aparecen coeficientes enteros.
Esto es, entonces, un criterio estético en lugar de formal, por lo que quedará a
gusto de cada uno. Esta ambigüedad sucede solamente al nivel de las constantes,
ya que el máximo común divisor de dos polinomios se define como único salvo
factores constantes * . Dejaremos esto de lado ya que lo importante del proceso
de simplificación se comprenderá mejor mediante los ejemplos.
Ejemplo 77. Simplificando una expresión racional. Simplificar la siguiente
expresión racional, indicando los valores no permitidos para la variable:
x 3 − 4x
x 3 + 3x 2 − 10x .
Solución: Comenzamos factorizando tanto el numerador como el denominador,
para luego cancelar:
x 3 − 4x
x 3 + 3x 2 − 10x = x(x 2 − 4)
x(x 2 + 3x − 10)
x(x − 2)(x + 2)
=
x(x − 2)(x + 5)
= ✁x ✘(x ✘ − 2)(x ✘ + 2)
✁x✘✘ (x − 2)(x ✘ + 5)
= x + 2
x + 5 .
x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ −5
Los valores no permitidos para x deben determinarse siempre antes de cancelar
términos, en la expresión original. Puesto que la forma factorizada es equivalente
a la expresión original, es más sencillo ver allí cuáles son los valores que
anulan el denominador. En este caso, las restricciones son:
x ≠ 0, x ≠ 2 y x ≠ −5. ∠
La expresión simplificada es igual a la original excepto para aquellos valores
en los que el factor que se cancele sea igual a cero. Para comprender esto,
en la expresión racional del ejemplo anterior es incorrecto escribir
x 3 − 4x
x 3 + 3x 2 − 10x = x + 2
x + 5 , %
*Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_
divisor. Consultado en noviembre de 2018.
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