13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

3.3. Factorización de polinomios
Ejemplo 68. Cualquier constante no nula como factor común. Si consideramos
el polinomio p(x) = 3x 2 − 12x + 6, es claro que podemos extraer al 3 como
factor común:
3x 2 − 12x + 6 = 3(x 2 − 4x + 2).
Los coeficientes que quedan en el polinomio entre paréntesis son los coeficientes
del polinomio original divididos por 3, de manera que al hacer la distributiva se
recupera lo que está a la izquierda de la igualdad. Pero si podemos dividir cada
coeficiente por 3, entonces podemos dividir por cualquier otro número que se
desee, siempre que no sea cero:
3x 2 − 12x + 6 = 6 ( 1 2 x2 − 2x + 1) = −4 (− 3 4 x2 + 3x − 3 2 ) .
En otras palabras, aunque el aspecto del resultado quizás “empeore”,
todo polinomio p es divisible por cualquier polinomio de grado cero.
En particular, siempre es posible factorizar un polinomio (no constante) dado,
como producto entre una constante y un polinomio mónico (es decir, uno
con coeficiente principal igual a 1). Por ejemplo:
2x 2 − x + 5 = 2 (x 2 − 1 2 x + 5 2 ) ,
πx 5 + 2x 3 − x + √ 2 = π (x 2 + 2 π x3 − 1 π x + √ 2
π ) .
Así, cada polinomio puede factorizarse como el producto entre una constante y
uno o más polinomios mónicos:
2x 3 + 3x 2 = x 2 (2x + 3) = 2(x 2 ) (x + 3 2 ) .
∠
Aunque en algunos textos suele considerarse el último miembro en la expresión
anterior como la factorización completa del polinomio dado, no exigiremos
aquí que cada factor sea mónico.
Ejemplo 69. Factor común en grupos. A veces nos encontramos con un cuatrinomio
que no tiene un factor común a todos sus términos, pero tiene uno que
es común a dos de ellos, y otro factor común a los otros dos. Antes de describirlo
veamos un ejemplo que ilustra el método:
4x 3 − 4x 2
+2x − 2
= 4x2 (x − 1) + 2(x − 1) = (x − 1)(4x 2 + 2).
4x 2 es factor común
de estos dos términos
2 es factor común
de estos dos términos
(x − 1) es factor común
de ambos términos
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