13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Ejemplo 76. Restricciones para fracciones algebraicas. Las siguientes son
expresiones racionales:
3x + 6
9x 2 − 9x − 54 ,
x
x 2 + 1 .
Observar que la primera está definida para x ≠ −2 y x ≠ 3, que son los valores
que anulan al denominador. La segunda, en cambio, está definida para todo
número real, pues el denominador nunca se anula. En otras palabras, los valores
no permitidos para la primera expresión racional son x = −2 y x = 3, mientras
que para la segunda no hay restricciones.
∠
Las expresiones racionales se simplifican factorizando los polinomios involucrados
para luego “cancelar” los factores comunes tanto al numerador como
al denominador:
a ✁ c
b ✁ c = a , para todo c ≠ 0.
b
Será fundamental no perder de vista los valores no permitidos para la variable,
ya que algunos de ellos pueden olvidarse durante el proceso de simplificación
(al cancelar c en la fórmula anterior). Ilustramos esto en los ejemplos.
Una fracción algebraica es irreducible o está en su mínima expresión cuando
el numerador y el denominador no tienen factores comunes a excepción de
las constantes. Notar que, con esta definición, si se multiplica el numerador y
denominador de una fracción algebraica irreducible por una misma constante
distinta de cero, se obtiene otra fracción irreducible equivalente. Por ejemplo:
6x + 12
4x + 2 = 3 ⋅ x + 2
2x + 1 = 3 2 ⋅ x + 2
x + 1 ,
2
y según la definición dada, cualquiera de estas fracciones es irreducible. A pesar
de ello, la del medio suele ser más “frecuente” de encontrar al momento de
simplificar fracciones algebraicas. Esto se debe a que el procedimiento usual
consiste en extraer por un lado el mayor entero factor común a todos los coeficientes
del polinomio del numerador (en el ejemplo de arriba es 6), luego se hace
lo mismo para el denominador (en este caso es 2), y finalmente se simplifican
estos factores, si es posible (en este caso, 6 = 3). La tercera fracción se obtiene
2
si se exige que tanto el numerador como el denominador sean polinomios mónicos,
o un producto de ellos. Aunque esto sí genera unicidad en la forma reducida
de una fracción algebraica, también haría, por ejemplo, que la mínima expresión
de
3πx + 12
√
2x + 1
sea
3π
√
2
⋅
x + 4 π
x + √ 1 ,
2
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