13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Ejercicios 3.2.1
1. Sean p(x) = 2x 4 − 3x 2 − 5x 3 + x 5 , q(x) = 2 − 3x + x 3 − 2x 4 , r(x) = 2 − x 5 y
s(x) = x 2 + 2x 4 . Realizar las siguientes operaciones y expresar el resultado
como un polinomio ordenado:
(a) p − r − s
(b) p + p
(c) s − r + q
(d) q + p + s
(e) p − q y q − p. Comparar los resultados.
2. Determinar gr(p + s), gr(q + s), gr(r + s), siendo p, q, r y s como en el
ejercicio anterior. Concluir si existe o no una regla sobre el grado de la suma
de polinomios.
3. Se recorta un rectángulo de cartulina cuya base es x cm y su altura 2x 2
cm. Hallar el polinomio que representa el perímetro del rectángulo, y el valor
del mismo cuando x = 2.
3.2.2. Producto de polinomios
Al igual que con la suma, comencemos viendo cómo se realiza el producto
de monomios, el cual se define como:
(ax n )(bx m ) = (a ⋅ b)x n+m .
Es decir, el resultado es otro monomio cuyo grado es la suma de los grados de
los dos monomios, y cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los
monomios.
Ejemplo 52. Multiplicando monomios.
(3x 4 ) ⋅ (−2x 5 ) = −6x 9 , ( 1 2 x3 ) (2x) = x 4 , (−4)(−x 7 ) = 4x 7 . ∠
De lo anterior y de la propiedad distributiva del producto con respecto a
la suma (y a la resta) en los reales, se concluye que para efectuar el producto
p ⋅ q de dos polinomios p y q, se multiplica cada monomio del primer polinomio
por todos los monomios que forman el segundo polinomio, y se suman todos los
monomios obtenidos (sumar significa respetar los signos obtenidos al hacer el
producto). Para simplificar el resultado se suman los monomios de igual grado,
si los hubiera.
62