13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

2.3. Números reales
y cuando x = 3 tenemos
5∣7 − 3x∣ + 2 = 5∣7 − 3 ⋅ 3∣ + 2 = 5∣7 − 9∣ + 2 = 5 ⋅ ∣ − 2∣ + 2 = 5 ⋅ 2 + 2 = 12.
∠
A continuación enumeramos algunas de las propiedades del valor absoluto.
Propiedades del valor absoluto. Si x e y son números reales cualesquiera,
entonces vale lo siguiente:
(a) ∣x∣ ≥ 0;
(b) ∣x∣ = 0 si y solo si x = 0;
(c) ∣ − x∣ = ∣x∣;
(d) ∣xy∣ = ∣x∣∣y∣;
(e) ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣ (desigualdad triangular);
(f) Si a ≥ 0 se tiene que ∣x∣ ≤ a si y solo si −a ≤ x ≤ a (análogamente con <);
(g) Si a ≥ 0 se tiene que ∣x∣ ≥ a si y solo si x ≥ a o x ≤ −a (análogamente
con >).
? ¿Qué nos dicen todos los símbolos anteriores? Poder interpretar el lenguaje
matemático es fundamental para comprender los conceptos y resultados. La propiedad
(a) establece que el valor absoluto es siempre positivo o cero, pero nunca
negativo, mientras que (b) afirma que el único número que dista cero unidades
del cero, es el mismo cero.
En (c) se establece que cada número dista del cero lo mismo que su opuesto,
lo cual es lógico ya que éstos se encuentran hacia lados opuestos en la recta
numérica, pero a la misma distancia de él.
La propiedad (d) dice que el valor absoluto se distribuye con respecto al
producto (y en consecuencia con respecto al cociente). Sin embargo, esto nunca
debe hacerse cuando tenemos una suma o resta de dos números, es decir, es fácil
encontrar valores para x e y tales que
∣x − y∣ ≠ ∣x∣ − ∣y∣,
∣x + y∣ ≠ ∣x∣ + ∣y∣.
Para los casos anteriores, lo que vale es la desigualdad triangular (e), que junto
con (c) implican que
∣x − y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣,
pues ∣x − y∣ = ∣x + (−y)∣ ≤ ∣x∣ + ∣ − y∣ = ∣x∣ + ∣y∣.
Finalmente, las propiedades (f) y (g) nos indican, respectivamente, cuáles
son los números que se encuentran “cerca” del cero (en el sentido que están a
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