13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
Ejemplo 196. El máximo beneficio. Supongamos que el beneficio (en miles de
dólares) de una empresa aumenta cuando invierte en publicidad hasta un cierto
límite, según la fórmula:
P (x) = 5000 + 1000x − 5x 2 ,
donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la compañía gasta en publicidad.
Hallar la cantidad que la empresa debe gastar en publicidad para maximizar sus
ganancias, e indicar cuál sería dicho beneficio.
Solución: Completemos cuadrados en la expresión para P :
P (x) = −5x 2 + 1000x + 5000 = −5(x 2 − 200x) + 5000
= −5(x 2 − 200x + 10000 − 10000) + 5000
= −5(x − 100) 2 + 55000.
Luego, su representación gráfica es una parábola con ramas que abren hacia abajo
y vértice (100, 55000). Entonces este es un punto de máximo, lo que significa
que el beneficio máximo se obtendrá al gastar 100000 dólares en publicidad,
obteniendo una ganancia igual a 55000000 dólares.
∠
Una forma alternativa de resolver el ejemplo anterior es usando la fórmula
(5.5.1) dada en la página 231. Recordar dicha conclusión evita tener que completar
cuadrados, ya que permite establecer que la función P alcanza un máximo
en
x = − b
2a = − 1000
2 ⋅ (−5) = 100,
y que dicho valor máximo es P (100) = 55000. Todos los ejemplos siguientes
pueden resolverse también mediante la aplicación de este resultado. Sin embargo,
optamos aquí por hacerlo mediante el método de completar cuadrados para
llevar la función cuadrática dada a su forma canónica, ya que es la forma de hacerlo
cuando no se recuerda la fórmula (5.5.1). Los ejercicios pueden resolverse
de cualquiera de las dos formas, según el método que se prefiera.
Ejemplo 197. La cantidad mínima de bacterias. En un cierto rango de temperatura,
la cantidad de bacterias en un alimento crece a medida que la temperatura
aumenta. Supongamos que el número de bacterias en un alimento refrigerado
viene dado por
N(t) = 20t 2 − 20t + 120,
donde t es la temperatura del alimento en grados Celsius. ¿A qué temperatura
el número de bacterias es mínimo? ¿Cuál es la cantidad de bacterias cuando la
temperatura del alimento es de 10 grados Celsius?
Solución: Completando cuadrados tenemos que
N(t) = 20t 2 − 20t + 120 = 20(t 2 − t) + 120
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