13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
Entonces la parábola correspondiente a la gráfica de f tiene su vértice en (1, 3).
Puesto que a = 2 > 0, la función alcanza un mínimo en x = 1, y el valor de dicho
mínimo es 3. El eje de simetría es la recta x = 1.
Ahora hacemos lo mismo con g:
g(x) = −x 2 −6x+1 = −(x 2 +6x+9 − 9)+1 = −(x 2 +6x+9)+10 = −(x+3) 2 +10.
Luego, la gráfica de g es una parábola con vértice en (−3, 10) cuyas ramas abren
hacia abajo. Por lo tanto g alcanza un máximo en x = −3, cuyo valor es 10. La
gráfica es simétrica respecto de la recta x = −3.
Finalmente completamos cuadrados en la fórmula para p:
p(x) = 3x 2 + 6x + 3 = 3(x 2 + 2x + 1) = 3(x + 1) 2 .
Por lo tanto la parábola que corresponde al gráfico de p tiene su vértice en
(−1, 0), y sus ramas abren hacia arriba. Entonces p posee un mínimo en x = −1,
cuyo valor es 0. El eje de simetría es la recta x = −1. Graficamos a continuación
estas tres funciones cuadráticas.
20
15
p(x)
f(x)
10
g(x)
5
x
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−5
∠
Si la gráfica de f es una parábola con vértice en (1, 3), es incorrecto decir:
“La función f alcanza un mínimo en (1, 3).” %
Lo correcto es:
“La función f alcanza un mínimo en x = 1, y ese mínimo es 3.” "
Como vimos en el ejemplo anterior, expresar una función cuadrática en forma
normal f(x) = a(x − h) 2 + k nos ayuda a trazar su gráfica y a determinar
si alcanza un valor máximo o mínimo. El proceso que nos permitió expresar la
230