13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

5.6. Función exponencial
Ejemplo 209. Bacterias en presencia de antibióticos. En presencia de un antibiótico,
se observa que un cultivo de bacterias decrece un 5 % cada 8 horas,
siendo la población inicial de 1000 individuos.
(a) Hallar una fórmula que determine la cantidad de bacterias C(t), siendo t el
tiempo en días desde que se toma el antibiótico.
(b) Determinar la cantidad de bacterias luego de 2 días de antibióticos.
(c) Hallar cuánto tiempo es necesario para reducir la población de bacterias a la
mitad de la inicial.
(d) Determinar la cantidad de individuos que se pierden en el quinto día de
suministro del medicamento.
Solución:
(a) El dato nos dice que la población de bacterias decrece en forma exponencial.
Entonces, la cantidad de bacterias luego de t días de tomar el antibiótico está
dada por
C(t) = C 0 e rt , (5.6.1)
siendo C 0 = 1000, y r a determinar según el dato. El mismo afirma que
luego de 8 horas (t = 1 ), la población de bacterias decrece un 5 %, es decir,
3
C ( 1 3 ) = C 0 − 0.05C 0 = 0.95C 0 .
Reemplazando en la ecuación (5.6.1) se obtiene
0.95C 0 = C 0 e r 3 ,
lo que implica 0.95 = e r 3 . Aplicando el logaritmo neperiano a ambos miembros
de la igualdad, y despejando, se concluye que r = 3 ln 0.95 ≈ −0.1539.
Entonces la cantidad de bacterias luego de t días de tomar el antibiótico está
dada por
C(t) = 1000e −0.1539t ,
o bien, equivalentemente,
C(t) = 1000(0.95) 3t .
(b) La cantidad de bacterias luego de 2 días de antibióticos es
C(2) = 1000(0.95) 6 ≈ 735.
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