13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

5.6. Función exponencial
Calculando la edad de la Tierra.
Como una aplicación de lo estudiado, queremos presentar este ejemplo que
muestra cómo Ernest Rutherford realizó en 1929 el primer cálculo radioisotópico
de la edad de la Tierra * .
Ernest Rutherford sugirió que la diferencia en abundancia entre los dos isótopos
naturales principales del Uranio (uranio-235, simbolizado 235 U, y uranio-
238, cuyo símbolo es 238 U) se debía solamente a las diferencias de sus vidas
medias. Supuso que al formarse la Tierra se encontraban en igual proporción, y
la razón por la que hay menos 235 U que 238 U en la actualidad es que el primero
decae más rápido. Para su cálculo utilizó los siguientes datos:
Abundancia ( %)
Vida media (en años)
235 U 0.7201 7.04 × 10 8
238 U 99.275 4.46 × 10 9
Con las vidas medias se pueden hallar las constantes de desintegración como
lo hicimos antes:
λ 235 =
ln 2
7.04 × 10 , λ ln 2
8 238 =
4.46 × 10 . 9
Por lo tanto, la cantidad de átomos de cada isótopo luego de un tiempo t
estará dada por:
N 235 (t) = N 0,235 e −λ235t ,
N 238 (t) = N 0,238 e −λ238t ,
donde N 0,235 y N 0,238 denotan las cantidades iniciales de 235 U y 238 U, respectivamente.
¿Qué otra información se tiene? Como estamos suponiendo que inicialmente
había igual cantidad de ambos isótopos, si denotamos con N 0 al total de átomos
de Uranio (ambos tipos juntos) cuando t = 0, tenemos que:
N 0,235 = N 0,238 = 1 2 N 0.
(A)
Además, se conocen las proporciones actuales de ambos. Si llamamos N A
al total de átomos de Uranio en la actualidad (t = t A , el tiempo actual), se tiene
que
N 235 (t A ) = 0.7201
100 N A, (B)
N 238 (t A ) = 99.275
100 N A. (C)
*Ejemplo sugerido por el Dr. Miguel Marcos, extraído de https://physics.info/
half-life/practice.shtml en agosto de 2018.
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