13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

2.1. Números naturales y enteros
Al igual que los naturales, los enteros constituyen un conjunto ordenado,
infinito y discreto. La diferencia es que no tiene primer elemento, y todo número
entero tiene un antecesor y un sucesor entero.
Como antes, un número entero es menor que otro si está colocado a la izquierda
de él en la recta numérica, y es mayor que otro si está a la derecha de él.
Entonces, tenemos por ejemplo las siguientes relaciones:
−5 < −3; 3 > −2; 0 > −7; 3 < 5.
Lo anterior se lee “−5 es menor que −3”; “3 es mayor que −2”; “0 es mayor que
−7” y “3 es menor que 5”. Notar que todas las desigualdades pueden escribirse
y leerse de otra manera. Por ejemplo, la última puede escribirse también como
5 > 3, y leerse “5 es mayor que 3”.
Así, si m y n son números enteros tales que m es mayor que n, podemos
escribir indistintamente
m > n o n < m.
Además, el símbolo n ≤ m se lee “n es menor o igual que m” y significa que o
bien n < m, o bien n = m. Análogamente, m ≥ n se lee “m es mayor o igual
que m” y significa que o bien m > n, o bien n = m. Por ejemplo, 2 ≤ 5 es una
afirmación verdadera, y también lo es 2 ≤ 2.
Ejemplo 11. Utilizando los signos de orden. Si el conjunto A se define por
comprensión como
A = {n ∈ N ∶ n ≤ 5},
entonces A se escribe por extensión como A = {1, 2, 3, 4, 5}. Ahora, si consideramos
B = {n ∈ Z ∶ n ≤ 5},
entonces B se escribe por extensión como B = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Si definimos
C = {n ∈ Z ∶ −2 ≤ n < 5},
entonces tenemos que C = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}. Notar que en este último caso
el entero 5 no pertenece al conjunto C, ya que en su definición aparece un signo
“menor” (<) en lugar de un signo “menor o igual” (≤).
∠
Las desigualdades como las que definen al conjunto C del ejemplo anterior
se conocen con el nombre de doble desigualdad, y corresponden a cualquiera
que tenga alguna de las siguientes formas:
a < x < b, a ≤ x < b, a ≤ x ≤ b, a < x ≤ b.
En todos los casos se refiere a los valores de x comprendidos entre a y b, pudiendo
incluir a uno, ambos o ninguno de estos valores “extremos”, según si la
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