13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
Siguiendo de esta forma, tenemos que la cantidad de bacterias que hay luego
de t horas está dada por
y(t) = y 0 2 t = 1000 ⋅ 2 t .
Por lo tanto, luego de 6 horas la cantidad de bacterias será
y(6) = 1000 ⋅ 2 6 = 64000.
Para saber el tiempo necesario hasta alcanzar las 16000 bacterias, debemos resolver
la ecuación y(t) = 16000, es decir
1000 ⋅ 2 t = 16000 ⇔ 2 t = 16 ⇔ 2 t = 2 4 ⇔ t = 4.
Luego, se necesitan 4 horas para llegar a una población de 16000 bacterias.
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Ejemplo 208. Hallando la fórmula de crecimiento. Supongamos que un estudiante
de bioquímica analiza un cultivo de bacterias, y determina que la cantidad
se triplica cada 20 minutos. Sabiendo que la población inicial era de 20000 bacterias,
y que las mismas siguen un modelo de crecimiento exponencial, hallar
una fórmula que modele el número de bacterias en el cultivo luego de t horas.
Solución: Llamemos y 0 a la cantidad inicial de bacterias, que en este caso es
20000. Trabajaremos en este ejemplo con la base e, para ilustrar cómo se procede.
Es decir, buscamos una función de la forma
y(t) = y 0 e rt ,
con r a determinar, y donde t denota el tiempo en horas.
Según lo observado por el estudiante, luego de 20 minutos hay 3y 0 bacterias.
A los 40 minutos habrá el triple de esta cantidad, es decir 3 ⋅ (3y 0 ) = 9y 0 , y a
la hora habrá 27y 0 bacterias. Estos datos servirán para determinar la constante r
en la fórmula de crecimiento exponencial. En efecto, sabemos que y(1) = 27y 0 .
Reemplazando en la ecuación se obtiene
27y 0 = y 0 e r⋅1 ,
y dividiendo por y 0 se tiene 27 = e r , lo que implica ln 27 = r (r ≈ 3.3). Por lo
tanto, la población de bacterias en cada instante t medido en horas está dada por
y(t) = 20000e (ln 27)t .
Notar que para determinar r no fue necesario saber la población inicial, sino
que es suficiente con conocer la forma en que la misma cambió luego de un
tiempo (en este caso, luego de una hora se multiplicó por 27. También se podría
haber usado que y(1/3) = 3y 0 , pues 20 minutos corresponden a un tercio de hora).
Observar también que la fórmula obtenida puede reescribirse usando base 27
en lugar de e, como y(t) = 20000 ⋅ 27 t .
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