13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

2.2. Números racionales e irracionales
que el primero, veremos ahora un nuevo conjunto numérico, que permite representar
el resultado de dividir dos naturales cualesquiera. Es así como surgen los
números racionales, ligados con el concepto de fracción. Si bien no se profundizará
aquí en el concepto de fracción (ya que pertenece a la formación básica del
alumno), recordaremos brevemente la idea: si n, m ∈ N, entonces en la fracción
n
m
el número m es llamado denominador y representa en cuántas partes iguales
se ha dividido la unidad (el todo), mientras que n es llamado numerador
y nos indica cuántas de dichas partes se deben tomar. Por ejemplo, la imagen a
continuación representa gráficamente a la fracción 3 5 .
Cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción es llamada
propia y su valor es menor que 1. En caso contrario, es llamada impropia, siempre
que el numerador no sea un múltiplo del denominador. Si el numerador es
un múltiplo del denominador, la fracción es llamada aparente, pues en realidad
representa un valor entero. Tanto las fracciones impropias como las aparentes,
corresponden a un número mayor o igual que la unidad.
2
5
7
5
21
3
propia impropia aparente
Dos fracciones n m y p son equivalentes si representan la misma parte del
q
todo, y en tal caso se denota
n
m = p q .
Por ejemplo, las siguientes fracciones son equivalentes, ya que todas representan
la mitad del todo:
1
2 = 2 4 = 5
10 .
Para definir formalmente el conjunto de los números racionales, se generaliza
el concepto de fracción permitiendo valores negativos. Precisamente, el
conjunto Q de los números racionales se define como
Q = { n ∶ n, m ∈ Z, m ≠ 0} .
m
Es decir, es el conjunto formado por todas las fracciones con numerador y denominador
ambos números enteros, y denominador no nulo (es decir, distinto
de cero). Dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional.
Luego, los racionales −n m y n
−m son iguales, y se los representa como − n m . 15